Dimostrazione di una proprietà degli insiemi, unione e differenza insiemistica

Ciao ragazzi, mi aiutereste con la dimostrazione di una proprietà degli insiemi sull'unione e la differenza insiemistica?

Dovrei dimostrare che, se A=∅, allora B=(A\B)U(B\A) e viceversa.

Non ho idea di come si faccia...aiuto!

Dimostrazione:


E' l'insime di tutti gli elementi di A che non stanno in B ma A è l'insieme vuoto di conseguenza, A non ha elementi e dunque A/B è il vuoto.



Sono tutti gli elementi di B che non stanno in A, ma A è il vuoto quindi tutti gli elementi di B non stanno in A e dunque B/A coincide con B.

La parte più interessante arriva adesso:



Dimostrazione:

Sappiamo che , supponiamo per assurdo che , cioè esiste almeno un elemento . Distinguiamo ora i casi:

• Se allora, per definizione di differenza tra insiemi



oppure


ma la prima di queste informazioni ci dice che



Abbiamo raggiunto l'assurdo, nato dall'aver supposto che

Da qui capiamo che non vale , ma vale la sua negazione cioè:


Vediamo che succede in questo caso:

Se allora si ha, per definizione di differenza insiemistica, che , ma ciò implicherebbe che perché

Abbiamo raggiunto nuovamente l'assurdo.

L'esistenza di un elemento portano a strade senza via di uscita, di conseguenza A è privo di elementi, cioè il vuoto

Se trovi qualcosa che non quadra io sono qui

[edit]: ho corretto un errore