Dimostrazione di una proprietà degli insiemi, unione e differenza insiemistica

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Dimostrazione di una proprietà degli insiemi, unione e differenza insiemistica #1902

avt
luciaaa
Cerchio
Ciao ragazzi, mi aiutereste con la dimostrazione di una proprietà degli insiemi sull'unione e la differenza insiemistica?

Dovrei dimostrare che, se A=∅, allora B=(A\B)U(B\A) e viceversa.

Non ho idea di come si faccia...aiuto! emt
 
 

Dimostrazione di una proprietà degli insiemi, unione e differenza insiemistica #1912

avt
Ifrit
Ambasciatore
 A=\emptyset\implies  B=(A/B )\cup(B/A)


Dimostrazione:

A/B=\left\{x: x\in A, x\notin B\right\}


E' l'insime di tutti gli elementi di A che non stanno in B ma A è l'insieme vuoto di conseguenza, A non ha elementi e dunque A/B è il vuoto.

B/A=\left\{x: x\in B, x\notin A\right\}


Sono tutti gli elementi di B che non stanno in A, ma A è il vuoto quindi tutti gli elementi di B non stanno in A e dunque B/A coincide con B.

La parte più interessante arriva adesso:

B=(A/B )\cup ( B/A )\implies A=\emptyset


Dimostrazione:

Sappiamo che B=(A/B )\cup ( B/A ), supponiamo per assurdo che A\ne \emptyset, cioè esiste almeno un elemento a\in A. Distinguiamo ora i casi:

• Se a\in B allora, per definizione di differenza tra insiemi

a\notin A/B


oppure

a\notin B/A

ma la prima di queste informazioni ci dice che

a\in A ma a\notin B


Abbiamo raggiunto l'assurdo, nato dall'aver supposto che a\in B

Da qui capiamo che non vale a\in B, ma vale la sua negazione cioè:

a\notin B

Vediamo che succede in questo caso:

Se a\notin B allora si ha, per definizione di differenza insiemistica, che a\in A/B, ma ciò implicherebbe che a\in B perché B=(A/B )\cup (B/A )

Abbiamo raggiunto nuovamente l'assurdo.

L'esistenza di un elemento a\in A portano a strade senza via di uscita, di conseguenza A è privo di elementi, cioè il vuoto emt

Se trovi qualcosa che non quadra io sono qui emt

[edit]: ho corretto un errore emt
Ringraziano: luciaaa
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Os