Proprietà dell'unione di due insiemi, dimostrare che AUB=(A\B)UB

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Proprietà dell'unione di due insiemi, dimostrare che AUB=(A\B)UB #1901

avt
luciaaa
Cerchio
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Ciao a tutti, devo dimostrare una proprietà dell'unione di due insiemi, mi aiutereste?

La proprietà dell'unione che devo dimostrare è

AUB=(A\B)UB

GRAZIE IN ANTICIPO

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Proprietà dell'unione di due insiemi, dimostrare che AUB=(A\B)UB #1906

avt
Ifrit
Ambasciatore
Perché lasci il corpo della domanda in bianco? Scrivi almeno ciao :(

Siano A e B insiemi; si provi che AUB=(A\B)UB

Indovina un po' come si dimostra? Con la doppia inclusione!! emt Dobbiamo cioè dimostrare che:
A\cup B\subset(A/B )\cup B


e

(A/B )\cup B \subset A\cup B


Cominciamo con la prima:

Sia x\in A\cup B allora per definizione di unione abbiamo:

x\in A\vee x\in B


Supponiamo per assurdo che

x\notin (A/B )\cup B


necessariamente x\notin B, ma per ipotesi x\in A\cup B di conseguenza x apparterrà ad A.

Ciò comporta un assurdo, visto che se x\in A\mbox{ ma } x\notin B implica che x\in A/B e quindi x\in (A/B )\cup B contro l'ipotesi assurda. Possiamo concludere che

A\cup B\subset(A/B )\cup B


Andiamo con la seconda:

(A/B )\cup B \subset A\cup B


Sia x\in (A/B )\cup B e supponiamo per assurdo che

x\notin A\cup B


Allora x\notin A e  x\notin B. Ciò ci assicura che x\notin A/B e x\notin B e quindi x non può appartenere all'unione di tali insiemi, abbiamo quindi raggiunto nuovamente l'assurdo nato dall'aver supposto che x\notin A\cup B. Quest'ultima informazione è falsa mentre è vera la sua negazione:

x\in A\cup B


Abbiamo dimostrato la doppia inclusione, di conseguenza vale l'uguaglianza:

A\cup B=(A/B )\cup B


Spero sia chiaro emt
Ringraziano: Omega, luciaaa

Proprietà dell'unione di due insiemi, dimostrare che AUB=(A\B)UB #1908

avt
luciaaa
Cerchio
GRAZIE GRAZIE GRAZIEEEEEEEEEEEE emt

Proprietà dell'unione di due insiemi, dimostrare che AUB=(A\B)UB #1909

avt
Ifrit
Ambasciatore
Scusami, ho commesso un Typo e non posso correggerlo, lo faccio qui. Si trova alla 13-esima riga. La correzione è la seguente

Ifrit ha scritto:
[...]

necessariamente x\notin B, ma per ipotesi x\in A\cup B di conseguenza x apparterrà ad A.

Ciò comporta un assurdo[...]


Scusa emt
Ringraziano: Omega, luciaaa

Proprietà dell'unione di due insiemi, dimostrare che AUB=(A\B)UB #1936

avt
Omega
Amministratore
Typo corretto. emt
Ringraziano: Ifrit, luciaaa
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Os