Proprietà della differenza insiemistica, dimostrazione

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Proprietà della differenza insiemistica, dimostrazione #1897

avt
luciaaa
Cerchio
Buondì emt

In un esercizio è richiesta la dimostrazione di una proprietà della differenza insiemistica, questa:

Se A⊆B, allora B\(B\A)=A.

Ecco la dimostrazione che ho fatto:

Sia A⊆B, allora a∈A e a∈B

Sia x∈B\(B\A)=A

B\A= x∈B e x∉A, cioè x∈ all'insieme complementare di A rispetto a B

B\(B\A)=B\insieme complementare di A rispetto a B, cioè B\(x∈B e x∉A);

dunque B\(B\A)=A.

La mia dimostrazione è corretta? Grazie in anticipo...
 
 

Proprietà della differenza insiemistica, dimostrazione #1904

avt
Ifrit
Ambasciatore
Purtroppo non ho capito molto bene che cosa tu abbia fatto, ma non disperiamo. Innanzitutto suggerisco di dare un'occhiata alla lezione sulla differenza insiemistica.

Io utilizzo la doppia inclusione, cioè dimostro separatamente le due inclusioni:
Se A\subset B

A\subset B/\left(B/A\right)\qquad\mbox{ e }\qquad B/\left(B/A\right)\subset A
.
Cominciamo con la prima:

Se a\in A allora a\in B perchè per ipotesi A\subset B di conseguenza, a\notin B/A. Ora

B/(B/A)=\left\{x\in B: x\notin B/A\right\}


Pertanto a\in B/(B/A) perché a\in B e a\notin B/A.

Vale per ogni a dell'insieme A di conseguenza:

A\subset B/\left(B/A\right)


La prima inclusione è dimostrata.

Andiamo con la seconda:

\mbox{ Se } A\subset B\mbox{ allora } B/\left(B/A\right)\subset A


Sia a\in  B/\left(B/A\right) allora a\in B ma a\notin B/A. Supponendo per assurdo che a\notin A allora a\in B/A, perché A\subset B, raggiungendo un assurdo, nato dall'aver supposto che a\notin A.
Possiamo concludere quindi che a\in A

Poiché vale per ogni a\in  B/\left(B/A\right) allora B/\left(B/A\right)\subset A

La doppia inclusione mi assicura l'uguaglianza.

Spero sia chiaro...anche se mi rendo conto che non è un ragionamento tanto lineare emt
Ringraziano: Omega, thejunker, luciaaa

Proprietà della differenza insiemistica, dimostrazione #1907

avt
luciaaa
Cerchio
emt eh eh... effettivamente sto esaurendo con tutti questi ragionamenti. Ma GRAZIE... Grazie alle vostre risposte inizio a capirci qualcosa in più.
E' bellissimo questo sito emt
Ringraziano: Omega, thejunker, Ifrit
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Os