Dimostrazione per assurdo di un teorema sugli insiemi: se B è un insieme e A⊆B, allora (B\A)∩A=∅

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Dimostrazione per assurdo di un teorema sugli insiemi: se B è un insieme e A⊆B, allora (B\A)∩A=∅ #1895

avt
luciaaa
Cerchio
Ciao!! Mi aiutate con la dimostrazione per assurdo di un teorema sugli insiemi?

Dimostrazione:

Siano A⊆B due insiemi e supponiamo per assurdo che (B\A)∩A≠∅

Dunque:

x∈(B\A) e x∈A

x∈B, x∉A e x∈A

x∈A e x∉A è una contraddizione e quindi si deve avere (B\A)∩A=∅

Che ve ne pare come dimostrazione per assurdo?
 
 

Dimostrazione per assurdo di un teorema sugli insiemi: se B è un insieme e A⊆B, allora (B\A)∩A=∅ #1896

avt
thejunker
Frattale
Direi perfetta.
Ma solo perchè hai l'inclusione stretta altrimenti non sarebbe verificato quello che hai dimostrato.
Ringraziano: Omega, luciaaa

Dimostrazione per assurdo di un teorema sugli insiemi: se B è un insieme e A⊆B, allora (B\A)∩A=∅ #1938

avt
Omega
Amministratore
Va benissimo, come ha fatto notare TJ (suona bene, no? emt )

In alternativa puoi osservare che, per una nota proprietà del complementare di un insieme e della differenza insiemistica B-A=A^C\cup B, dove

A^C=\{x\in U\mbox{ t.c. }x\notin A\}

è il complementare di A e U è l'insieme universo.

Ma allora

(B-A)\cap A=(B\cap A^C) \cap A=\mbox{ associatività }=B\cap (A^C\cap A)= B\cap \emptyset=\emptyset.

Così, giusto per proporre un'alternativa equivalente. emt
Ringraziano: luciaaa

Dimostrazione per assurdo di un teorema sugli insiemi: se B è un insieme e A⊆B, allora (B\A)∩A=∅ #1940

avt
Omega
Amministratore
TheJunker ha scritto?
Ma solo perchè hai l'inclusione stretta altrimenti non sarebbe verificato quello che hai dimostrato.

Come mai?... emt A me sembra che valga in ogni caso, con o senza inclusione...

Dimostrazione per assurdo di un teorema sugli insiemi: se B è un insieme e A⊆B, allora (B\A)∩A=∅ #1953

avt
thejunker
Frattale
In effetti è vero...

p.s. TJ non è male ahahah...
Ringraziano: Omega
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Os