Dimostrazione uguaglianza sugli insiemi: A intersecato (A unito B) = A

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Dimostrazione uguaglianza sugli insiemi: A intersecato (A unito B) = A #1871

avt
luciaaa
Cerchio
Salve! Mi aiutate nella dimostrazione di un'uguaglianza sugli insiemi? L'uguaglianza che devo dimostrare sarebbe questa:

A intersecato (A unito B) = A

in simboli: A\cap (A\cup B)=A

Grazie!
 
 

Dimostrazione uguaglianza sugli insiemi: A intersecato (A unito B) = A #1876

avt
thejunker
Frattale
Buona sera Lucia,
Visto l'ora tarda, provo a spiegartelo con un semplice ragionamento.

Prendiamo 2 insiemi diversi ad esempio:

A=\{numeri\ pari\ >\ 0\}

B=\{numeri\ dispari\ >\ 0\}


Allora come dovresti intuire A\cup B da come risultato l'insieme dei numeri naturali N .

Quindi A\cap( A\cup B ) e come dire A\cap(N).
Adesso ragioniamo su cosa ottieni intersecando due insiemi in generale, ottieni un terzo insieme costituito da tutti gli elementi contenuti sia nel primo che nel secondo.
Perciò intersecando l'insieme A,dei numeri pari, con l'insieme N, quello di tutti i numeri, ottieni per forza l'insieme C, che è quello di tutti i numeri pari.
Ma C coincide esattamente con A è quindi puoi dire tranquillamente:

A\cap(A\cup B )= A
Ringraziano: Omega, Ifrit, luciaaa

Dimostrazione uguaglianza sugli insiemi: A intersecato (A unito B) = A #1886

avt
luciaaa
Cerchio
Quindi per la dimostrazione posso far questo esempio?

Dimostrazione uguaglianza sugli insiemi: A intersecato (A unito B) = A #1889

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per una dimostrazione, nel senso logico matematico del termine, devi dimostrare la doppia inclusione:

A\subset A\cap (A\cup B )


e

A\cap(A\cup B )\subset A


utilizzando le definzioni di intersezione e unione. Ci vuoi provare da sola? emt
Ringraziano: Omega

Dimostrazione uguaglianza sugli insiemi: A intersecato (A unito B) = A #1892

avt
luciaaa
Cerchio
No... emt

Dimostrazione uguaglianza sugli insiemi: A intersecato (A unito B) = A #1893

avt
Omega
Amministratore
Oppure dire direttamente, con una piccola scorciatoia: l'intersezione è un'operazione tra insiemi distributiva rispetto all'unione, cioè

A \cap (B\cup C )=(A \cap B ) \cup (A\cap C)

quindi nel tuo caso

A\cap(A\cup B )=(A\cap A)\cup(A\cap B )=

evidentemente A\cap A=A quindi troviamo

=A\cup(A\cap B )=A

poiché A\cap B è contenuto in A.
Ringraziano: thejunker, Ifrit, luciaaa
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Os