Esercizio di Algebra e Calcolo Combinatorio

Ragazzi,

la parte di Algebra è andata bene, ho saputo fare tutto grazie a voi e al prof di ripetizione (siete stati zelanti anche stamattina, quando mancava solo un'ora all'esame ).

Tuttavia, non ho saputo fare un esercizio di Algebra e Calcolo Combinatorio su numero di parti, partizioni, relazioni binarie, permutazioni e trasformazioni non suriettive e non iniettive che propongo qui:

Se S è un insieme di ordine |S|=4, il numero:

- delle parti di S è (io ho scritto 2⁴=16
- delle 3-parti di S è (io ho scritto il coefficiente binomiale 4 su 3)
- delle partizioni di S è (non ricordo cosa sono le partizioni!)
- delle 3-partizioni di S è.......
- delle relazioni binarie in S è.........
- delle trasformazioni di S è (che si intende per trasformazioni?)
- delle permutazioni di S è......
- delle trasformazioni non suriettive è......
- delle trasformazioni non iniettive è........
- delle operazioni binarie interne (ovunque definite) in S è.........

Ragazzi vi sarei immensamente grata se riusciste a rispondere in serata perché domattina alle 9 ho l'orale... e lui fa le domande sul compito!

Se non ci riuscirete pazienza... ci avrò provato

Grazie e un bacione a tutti!

Sono un po' in ritardo.
Siano A e B due insiemi finiti, di cardinalità n e m rispettivamente.

- Cito wikipedia: Una partizione di un insieme X, è una famiglia di sottoinsiemi disgiunti la cui unione è l'intero insieme X. In matematica i numeri di Bell - indicati con B_n sono definiti come il numero di partizioni di un insieme di n elementi, cioè il numero di modi in cui questo insieme può essere ottenuto come unione disgiunta di suoi sottoinsiemi non vuoti. E tu devi calcolare B_4, sulla pagina di wikipedia riguardante i numeri di Bell c'è anche scritto un modo per calcolarli.

- Cito ancora wikipedia: Una partizione in due parti si dice bipartizione, una in tre parti tripartizione; con significato simile talora si usano termini come tetrapartizione o più in generale k-partizione. Il numero di k-partizioni in un insieme di n elementi è il numero di Stirling di seconda specie {n k}.

- Una relazione fra due insiemi A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A x B. A e B sono insiemi finiti la cardinalità del loro prodotto cartesiano è il prodotto delle cardinalità di A e B. Quindi |A x B|=mn e le relazioni (binarie fra A e B) sono 2^(mn).

- i termini mappa, applicazione, trasformazione e operatore sono sinonimi di ``funzione``. Le trasformazioni A --> B sono m^n.

- le permutazioni di un insieme A (finito) sono le applicazioni biiettive A --> A e sono pari a m!

- le applicazioni iniettive A --> B sono m!/(n-m)! (se n-m>0, altrimenti non ce ne sono). Inoltre nel tuo caso specifico (cioè in cui n=m) un'applicazione iniettiva è anche suriettiva quindi il numero delle applicazioni non iniettive è uguale al numero delle applicazioni non suriettive.

- prova a fare tu l'ultimo punto. Le operazioni binarie sono applicazioni S x S --> S quindi quante sono?

Sembra davvero un bel quesito, ma quante cose avete fatto in Algebra 1?

Grazie mille Lorenzo, sei stato molto chiaro
Comunque il programma era da 9 cfu... abbiamo fatto parecchio! Senza contare che il docente è un "algebrista teorico", quindi ti lascio immaginare.
In ogni caso, per fortuna, ho superato l'esame