Algebra 1 : cos'è un gruppo ciclico per definizione!?!? e come posso capire quando un gruppo è o non è ciclico??

sto studiando algebra 1 e sto riscontrando qualche difficoltà con i gruppi ciclici..ho provato a consultare qualche sito ma non sono riuscito a raccapezzarmi bene sull'argomento... sarei veramente grato a chi mi rispondesse!!! grazie mille!!

Ciao Carmine Riccardo



Male.

Partiamo dalla definizione (super standard!) di gruppo ciclico e vediamo di fare un po' di chiarezza: si dice ciclico un gruppo



(uso la notazione moltiplicativa, poco importa ) tale da essere generato da un solo elemento, cioè tale che



Dai, già che ci siamo scriviamo la definizione in notazione additiva, così nel frattempo cerchiamo di fare anche chiarezza sull'annosa questione delle notazioni per l'operazione rispetto alla quale è un gruppo. è un gruppo ciclico se è generato da un suo elemento, cioè se esiste tale che



Dato un gruppo ciclico se ne definisce l'ordine come il numero di elementi del gruppo.

Ora, prima di vedere insieme un risultato essenziale sui gruppi ciclici, che ne dici di spiegarmi per benino le tue perplessità?

praticamente il mio testo mi riportava alcuni esempi di gruppi ciclici ma non capivo come possa essere un gruppo ciclico o meno...
ad esempio: i quaternioni di Hamilton non sono un gruppo ciclico, mentre
G = ( 1, - 1 , i , -i ) lo è... per quale motivo!??!

Occhio: il modo in cui poni la domanda mi fa capire che non hai piena confidenza con la teoria dei gruppi. La buona notizia è che non appena familiarizzi con l'importantissima nozione che segue sei a 3/4 di Algebra I

Un gruppo non è un insieme di per sé: un gruppo è un insieme sul quale consideri una determinata operazione binaria. Non ha senso parlare di un insieme come un gruppo, bisogna sempre specificare l'operazione che rende l'insieme un gruppo...

Quindi: quali sono le operazioni che consideri sugli insiemi che hai citato?