Algebra 1 : cos'è un gruppo ciclico per definizione!?!? e come posso capire quando un gruppo è o non è ciclico??

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Algebra 1 : cos'è un gruppo ciclico per definizione!?!? e come posso capire quando un gruppo è o non è ciclico?? #16562

avt
carmine riccardo
Punto
sto studiando algebra 1 e sto riscontrando qualche difficoltà con i gruppi ciclici..ho provato a consultare qualche sito ma non sono riuscito a raccapezzarmi bene sull'argomento... sarei veramente grato a chi mi rispondesse!!! grazie mille!! emt
 
 

Algebra 1 : cos'è un gruppo ciclico per definizione!?!? e come posso capire quando un gruppo è o non è ciclico?? #16585

avt
Omega
Amministratore
Ciao Carmine Riccardo emt

ho provato a consultare qualche sito


Male. emt emt

Partiamo dalla definizione (super standard!) di gruppo ciclico e vediamo di fare un po' di chiarezza: si dice ciclico un gruppo

(G,\cdot)

(uso la notazione moltiplicativa, poco importa emt ) tale da essere generato da un solo elemento, cioè tale che

G=\{g^n\mbox{ t.c. }n\in\mathbb{N}\}

Dai, già che ci siamo scriviamo la definizione in notazione additiva, così nel frattempo cerchiamo di fare anche chiarezza sull'annosa questione delle notazioni per l'operazione rispetto alla quale G è un gruppo. (G,+) è un gruppo ciclico se è generato da un suo elemento, cioè se esiste g\in G tale che

G=\{mg\mbox{ t.c. }m\in\mathbb{N}\}

Dato un gruppo ciclico se ne definisce l'ordine come il numero di elementi del gruppo.

Ora, prima di vedere insieme un risultato essenziale sui gruppi ciclici, che ne dici di spiegarmi per benino le tue perplessità? emt
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby

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avt
carmine riccardo
Punto
praticamente il mio testo mi riportava alcuni esempi di gruppi ciclici ma non capivo come possa essere un gruppo ciclico o meno...
ad esempio: i quaternioni di Hamilton non sono un gruppo ciclico, mentre
G = ( 1, - 1 , i , -i ) lo è... per quale motivo!??! emt
emt

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avt
Omega
Amministratore
Occhio: il modo in cui poni la domanda mi fa capire che non hai piena confidenza con la teoria dei gruppi. La buona notizia è che non appena familiarizzi con l'importantissima nozione che segue sei a 3/4 di Algebra I emt

Un gruppo non è un insieme di per sé: un gruppo è un insieme sul quale consideri una determinata operazione binaria. Non ha senso parlare di un insieme come un gruppo, bisogna sempre specificare l'operazione che rende l'insieme un gruppo...

Quindi: quali sono le operazioni che consideri sugli insiemi che hai citato? emt
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby
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Os