Esercizi sulle disequazioni irrazionali (e una digressione sul valore assoluto)

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Esercizi sulle disequazioni irrazionali (e una digressione sul valore assoluto) #15935

avt
MaryADC90
Frattale
Ciao ragazzi emt
Come avevo anticipato su fb, ho qui degli esercizi per voi emt
Sono delle disequazioni irrazionali che però hanno dei termini fuori radice e non so come comportarmi nei loro confronti... perciò non li ho saputi fare :( ho fatto delle prove ma non si trovano... mi aiutate?

1. √(2-x)-1<√(x+3)
2. 3√(3x+x2)<2√(2x-x3)

Ho messo solo 2 esempi perchè ce ne sono un altro paio che sono molto simili... magari me ne fate solo uno e l'altro provo a farlo da sola emt

Grazie :*
 
 

Esercizi sulle disequazioni irrazionali (e una digressione sul valore assoluto) #15945

avt
Danni
Sfera
Ciao emt vediamo.

1) Innanzitutto il campo di esistenza dei radicali:
{2 - x ≥ 0
{x + 3 ≥ 0

{x ≤ 2
{x ≥ 3
sistema verificato per - 3 ≤ x ≤ 2

Ora lasciamo isolato un radicale:
√(x + 3) > √(2 - x) - 1
Eleviamo al quadrato entrambi i membri:
x + 3 > 2 - x + 1 - 2√(2 - x)

2√(2 - x) > - 2x
semplifichiamo
√(2 - x)> - x
che corrisponde all'unione dei due sistemi A v B
A)
{x ≤ 2 (realtà del radicale)
{x > 0 (negatività del secondo membro)
verificato per 0 < x ≤ 2
B)
{x < 0 (positività del secondo membro
{2 - x > x² (elevamento al quadrato dei due membri)

Verifichiamo il sistema B:
{x < 0
{x² + x - 2 < 0

{x < 0
{(x + 2)(x - 1) < 0 verificata per - 2 < x < 1

************ 0 ..........
... -2 ************ 1****

B) verificato per - 2 < x < 0


A v B

-2_______0_______ 2

Ora ricordiamo il campo di esistenza iniziale:
{- 3 ≤ x ≤ 2
{- 2 < x ≤ 2

|- 3 ************ 2|
|...... -2 ****** 2|

La disequazione è verificata per - 2 < x ≤ 2

Vuoi provare il secondo da sola? Se qualcosa non ti è chiaro sono a disposizione, ciao*
Ringraziano: Omega, Pi Greco, MaryADC90, Ifrit, raiu

Esercizi sulle disequazioni irrazionali (e una digressione sul valore assoluto) #15958

avt
MaryADC90
Frattale
Ciao Danni grazie mille emt
l'unica cosa è che la soluzione dell'esercizio dovrebbe essere 1<x≤2...
C'è un errore sul testo?
In ogni caso, è chiaro, provo a fare il secondo da sola emt
Ringraziano: Danni

Esercizi sulle disequazioni irrazionali (e una digressione sul valore assoluto) #15989

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti emt

Danni 1 - Libro 0

Il risultato che ha ricavato Danni è corretto, Mary emt
Ringraziano: MaryADC90, Danni

Esercizi sulle disequazioni irrazionali (e una digressione sul valore assoluto) #15991

avt
MaryADC90
Frattale
Proprio come immaginavo!
Stupidi risultati fasulli -.-"
Ringraziano: Omega, Danni

Esercizi sulle disequazioni irrazionali (e una digressione sul valore assoluto) #15992

avt
Danni
Sfera
Ciao Mary, spesso ci troviamo di fronte a refusi che mandano in crisi lo studente (il libro ha sempre ragione, dove sbaglio???)
Una buona norma sarebbe quella di inviare anche il risultato del libro in modo tale che chi ti aiuta a risolvere l'esercizio può dirti subito che quel risultato è sbagliato. Di solito controllo sempre con una verifica e qui non avevo dubbi ma a volte le verifiche richiedono ancora più tempo di quanto ne richiede la risoluzione.
Spero che tu abbia risolto gli altri esercizi, le irrazionali sono piuttosto meccaniche ma è necessaria molta attenzione nei passaggi, cambio di segni e di verso e cosette così. Ciao*
Ringraziano: Omega, MaryADC90

Esercizi sulle disequazioni irrazionali (e una digressione sul valore assoluto) #15995

avt
MaryADC90
Frattale
Grazie mille del saggio consiglio emt
E grazie ancora per l'aiuto, per fortuna sono riuscita a risolvere anche gli altri! emt
Ora ne sto facendo altri, ne ho parecchi da fare... devo farne sia sulle irrazionali sia sul valore assoluto emt
Ringraziano: Omega, Danni

Esercizi sulle disequazioni irrazionali (e una digressione sul valore assoluto) #16007

avt
Danni
Sfera
emt emt emt
Di nulla, siamo qui proprio per aiutare gli studenti.
Per quanto riguarda il valore assoluto ricorda che, se compare al denominatore di una disequazione, dopo averlo discusso ≠ 0 ed effettuato le operazioni con il denominatore comune, possiamo tranquillamente eliminarlo perché se non è = 0 è sicuramente > 0 per sua natura
A volte il valore assoluto è una trappola, pare che si debbano fare chissè quante discussioni (che oltretutto portano ad un risultato errato) mentre abbiamo la soluzione sotto il naso. Ti faccio un esempio:
√|x - 1| > - 1
Il radicale esiste per ogni x reale in quanto il radicando, come ogni valore assoluto, è positivo o nullo per ogni x reale.
Il segno del primo membro è positivo ed una quantità positiva è sempre maggiore di 0, figuriamoci allora se non è maggiore di un negativissimo - 1 emt
Quindi, senza tante discussioni, la disequazione è verificata per ogni x reale.
Guarda invece l'errore in cui si cade in un semplice caso di irrazionale:
√(x - 1) > - 1
Uno dice imponiamo la condizione di realtà del radicale
x ≥ 1
ed eleviamo al quadrato
x - 1 > 1
x > 2
Allora
{x ≥ 1
{x > 2
La disequazione è verificata per x > 2
ERRORE GRAVISSIMO
Il nostro sbadato risolutore ha detto solo una grande verità:
x ≥ 1
poi ha fatto casino, non ricordando che si tratta pur sempre di un'irrazionale che andrebbe risolta con l'unione dei due sistemi:
{x ≥ 1
{- 1 < 0 sempre vera (e te credo emt )
sistema verificato per x ≥ 1
v
{x > - 1
{x - 1 > 2 ovvero x > 2
verificato per x > 2
In unione abbiamo quindi che la disequazione è verificata per ogni x reale ≥ 1
Ma tutta questa inutile discussione ci è risparmiata dalla considerazione della positività del primo membro che sarà maggiore di - 1 per ogni x reale nell'insieme di definizione.
La disequazione è verificata pr ogni x reale con x ≥ 1
Quella soluzione errata, x > 2, non è quindi che UNA delle infinite soluzioni che si hanno per x ≥ 1 e non fa testo.
Buono studio, ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, MaryADC90

Re: Esercizi sulle disequazioni irrazionali (e una digressione sul valore assoluto) #16012

avt
MaryADC90
Frattale
Doppio grazie! emt
Dopo un riposino riprendo con gli esercizi... entro oggi finisco quelli irrazionali e domani inizio col valore assoluto tenendo presente la tua lezione e ricordando anche quella (ahimè!) del prof di ripetizione... Questo esame di analisi mi costerà un patrimonio emt
Buona serata e grazie ancora! emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, Danni
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Os