Endomorfismo di R^2

f:R^2---->R^2 l'endomorfismo di R^2 tale che kern(f)=l(5,5) e f(2,3)=(4,3) determinare gli autovalori e gli autospazi di f. Mostrare che f è diagonilizzabile e determinare una base di R^2 diagonilizzante di f.
V={(x,y) appartenente R^2|f(x,y)=y,x} è sottospazio di R^2? se si determinare la dimensione di una base
grazie in anticipo per le vostre risposte

Ciao Screative

Con un po' di magheggi algebrici ce la caviamo egregiamente: detta così suona come chissà che, in realtà è sufficiente sfruttare la linearità dell'applicazione e le informazioni di cui disponiamo.

Un autovalore di un'applicazione lineare è per definizione un elemento del campo degli scalari (qui ) tale che



e in tale circostanza si dice autovettore associato all'autovalore .

L'autospazio associato all'autovalore è invece l'insieme degli autovettori associati all'autovalore , cioè il nucleo dell'applicazione lineare . Infatti la precedente uguaglianza è del tutto equivalente a



Noi sappiamo che , cioè . Dato che l'applicazione manda in , non è l'applicazione banale e quindi ne deduciamo che non può essere . Necessariamente , e quindi



Quel vettore non mi piace. Preferisco



Ora: se un'applicazione lineare ha nucleo non banale (cioè se non è iniettiva) sappiamo che è un suo autovalore. Dimostriamolo:

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Dato risulta che .

Fine della dimostrazione.

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Abbiamo già un autovalore, , e l'autospazio ad esso associato, . Per quanto riguarda il secondo autovalore, ammesso e non concesso che esso esista (esiste, esiste... ) in base a quel poco che sappiamo:



Osserviamo che



appartiene al nucleo di





Dunque





Per concludere in bellezza



Abbiamo trovato in un colpo solo il secondo autovalore di , che è , e un autovettore: . L'autospazio associato a è necessariamente il sottospazio generato



perché tale autospazio non può avere dimensione superiore ad uno.

Dato che ha due autovalori distinti entrambi appartenenti al campo degli scalari considerato, è certamente diagonalizzabile. Una base che diagonalizza l'applicazione lineare è costituita dagli autovettori che generano i due autospazi, ad esempio .

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Per quanto riguarda la seconda parte dell'esercizio, diciamo che non è il sottospazio banale e nemmeno l'intero spazio .

Per la prima delle due affermazioni, basta osservare che



in particolare, è il sottospazio vettoriale generato dal vettore , quindi ha dimensione e una sua base è proprio .

io avevo svolto(con un pessimo esito) così
x
y =a*f(v1) +b*f(v2)

a=(x-2y)/5
b=y-x

F|x|
|y| =(x-2y)/5 *(v1)+y-x*(v2)

-4x +4y
-3x +3y

quindi la matrice associata è

-4 4
-3 3

per gli autovalori det(A-kI)= -(4+k)(3-k)
quindi k=-4 e k=3
che ovviamente non sono autovalori
cosa sbaglio??!?!

D'OH! Va tutto bene, tranne il calcolo degli autovalori .

Polinomio caratteristico:





Gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico, dunque

grazie avevo sbagliato a calcolare il determinante sono abbastanza distratto ultimamente grazie mille per la spiegazione e per la correzione

Figurati, nessun problema