Endomorfismo di R^2

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Endomorfismo di R^2 #12283

avt
screative
Frattale
f:R^2---->R^2 l'endomorfismo di R^2 tale che kern(f)=l(5,5) e f(2,3)=(4,3) determinare gli autovalori e gli autospazi di f. Mostrare che f è diagonilizzabile e determinare una base di R^2 diagonilizzante di f.
V={(x,y) appartenente R^2|f(x,y)=y,x} è sottospazio di R^2? se si determinare la dimensione di una base
grazie in anticipo per le vostre risposte
 
 

Re: Endomorfismo di R^2 #12325

avt
Omega
Amministratore
Ciao Screative emt

Con un po' di magheggi algebrici ce la caviamo egregiamente: emt detta così suona come chissà che, in realtà è sufficiente sfruttare la linearità dell'applicazione F e le informazioni di cui disponiamo.

Un autovalore di un'applicazione lineare è per definizione un elemento \lambda\in\mathbb{R} del campo degli scalari (qui \mathbb{R}) tale che

Fv=\lambda v

e in tale circostanza v\in\mathbb{R}^2 si dice autovettore associato all'autovalore \lambda.

L'autospazio associato all'autovalore \lambda è invece l'insieme degli autovettori v associati all'autovalore \lambda, cioè il nucleo dell'applicazione lineare F-\lambda I. Infatti la precedente uguaglianza è del tutto equivalente a

(F-\lambda I)v=0

Noi sappiamo che F(5,5)=0, cioè (5,5)\in\ker(F). Dato che l'applicazione F manda (2,3) in (4,3), non è l'applicazione banale e quindi ne deduciamo che non può essere dim(Ker(f))=2. Necessariamente dim(Ker(f))=1, e quindi

Ker(F)=<(5,5)>

Quel vettore non mi piace. emt Preferisco

Ker(F)=<(1,1)>

Ora: se un'applicazione lineare ha nucleo non banale (cioè se non è iniettiva) sappiamo che \lambda=0 è un suo autovalore. Dimostriamolo:

-------------------------------------

Dato v\in ker(F) risulta che Fv=0=0v.

Fine della dimostrazione. emt emt emt

-------------------------------------

Abbiamo già un autovalore, \lambda=0, e l'autospazio ad esso associato, ker(F). Per quanto riguarda il secondo autovalore, ammesso e non concesso che esso esista (esiste, esiste...emt ) in base a quel poco che sappiamo:

F(2,3)=(4,3)

Osserviamo che

F(2,3)=F(2,2)+F(0,1)=(4,3)

(2,2) appartiene al nucleo di F

F(2,3)=0+F(0,1)=(4,3)

F(0,1)=(4,3)

Dunque

0=F(1,1)=F(1,0)+F(0,1)

F(1,0)=-F(0,1)=(-4,-3)

Per concludere in bellezza

F(4,3)=F(3,3)+F(1,0)=0+F(1,0)=(-4,-3)=-(4,3)

Abbiamo trovato in un colpo solo il secondo autovalore di F, che è \lambda=-1, e un autovettore: (4,3). L'autospazio associato a \lambda=-1 è necessariamente il sottospazio generato

<(4,3)>

perché tale autospazio non può avere dimensione superiore ad uno.

Dato che F ha due autovalori distinti entrambi appartenenti al campo degli scalari considerato, è certamente diagonalizzabile. Una base che diagonalizza l'applicazione lineare è costituita dagli autovettori che generano i due autospazi, ad esempio B=\{(0,0),(4,3)\}.

------

Per quanto riguarda la seconda parte dell'esercizio, diciamo che V non è il sottospazio banale e nemmeno l'intero spazio \mathbb{R}^2.

Per la prima delle due affermazioni, basta osservare che

F(3,4)=F(3,3)+F(0,1)=0+(4,3)

in particolare, V è il sottospazio vettoriale generato dal vettore (3,4), quindi ha dimensione 1 e una sua base è proprio \{(3,4)\}.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, screative

Re: Endomorfismo di R^2 #12359

avt
screative
Frattale
io avevo svolto(con un pessimo esito) così
x
y =a*f(v1) +b*f(v2)

a=(x-2y)/5
b=y-x

F|x|
|y| =(x-2y)/5 *(v1)+y-x*(v2)

-4x +4y
-3x +3y

quindi la matrice associata è

-4 4
-3 3

per gli autovalori det(A-kI)= -(4+k)(3-k)
quindi k=-4 e k=3
che ovviamente non sono autovalori
cosa sbaglio??!?!

Re: Endomorfismo di R^2 #12368

avt
Omega
Amministratore
D'OH! emt Va tutto bene, tranne il calcolo degli autovalori .

Polinomio caratteristico:

P(k)=det\left[\begin{matrix}-4-k& 4\\ -3&3-k\end{matrix}\right]=

=(-4-k)(3-k)+12=-12+4k-3k+k^2+12=k^2+k

Gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico, dunque

P(k)=k^2+k=0\to k=0\mbox{ }k=-1
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, screative

Re: Endomorfismo di R^2 #12476

avt
screative
Frattale
grazie avevo sbagliato a calcolare il determinante sono abbastanza distratto ultimamente grazie mille per la spiegazione e per la correzione
Ringraziano: Omega

Re: Endomorfismo di R^2 #12479

avt
Omega
Amministratore
Figurati, nessun problema emt
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Os