Sezioni & Retrazioni

Ciao ragazzi,
avevo postato prima la mia domanda ma non so perchè non risulta nell'elenco... beh la ripeterò
Ho dei problemi con il calcolo combinatorio e, in particolare, con il conteggio delle applicazioni iniettive e suriettive (e quindi di sezioni e retrazioni) nonchè nel conteggio delle equivalenze. Procedo postando direttamente l'esercizio dell'esame:

Stabilire quali sono le relazioni di equivalenza epsilon in A (che ha cardinalità 10) tali che:
1. Per ogni a e b in A, se a e b sono entrambi pari, allora a epsilon b
2. Per ogni a appartenente ad A, 3|a--->a epsilon 0
3. Esiste almeno un a appartenente ad A tale che |[a]_epsilon|=2
Qual'è il numero di tali equivalenze?
Se possibile, si scelga una tra queste equivalenze e si descriva l'insieme quoziente A/epsilon elencando gli elementi di ogni classe di equivalenza.
Qual'è dunque la cardinalità dell'insieme quoziente?
Per questa scelta di epsilon, quante sono le sezioni della proiezione canonica A--->A/epsilon?
Quante sono invece le equivalenze epsilon in A che verificano le proprietà 1 e 2?

Aiuto sto impazzendo

Ciao MaryADC90 eccoci qui: domanda banale, ma essenziale. è un sottoinsieme di interi o di relativi? I suoi elementi sono numeri consecutivi o presi a capocchia?

A è un insieme di naturali, precisamente A={n appartiene a N|n<10} e gli elementi a e b sono presi a capocchia a quanto pare

Ok dunque



e la notizia è che qui si sta considerando con lo zero incluso!

A parte gli scherzi, credo proprio di aver inteso cosa ti serve...



Cominciamo dal punto 1.: è richiesto il numero di relazioni di equivalenza definite sull'insieme con la richiesta che i numeri pari siano in relazione tra loro.

Il numero di classi di equivalenza è il numero di elementi dell'insieme quoziente , che per definizione è l'insieme di classi di equivalenza della relazione di equivalenza nell'insieme.

Tutti questi concetti, e quelli che ci serviranno in seguito, vengono introdotti in questo post su relazioni e classi di equivalenza (click me, please!) (la parte che ti interessa è quella fino a "Ora: in guardia!")

La prima richiesta qui presente



non individua una sola relazione di equivalenza, ma una famiglia di relazioni di equivalenza sull'insieme . Questo perché non viene specificato come ci si comporta con i numeri dispari....

Per individuare tutte e sole le relazioni di equivalenza su che soddisfano la richiesta "i numeri pari sono in relazione tra loro" dobbiamo ricordare che vale il teorema seguente (detto in modalità terra-terra)

"Ogni relazione di equivalenza definita su un insieme individua una partizione dell'insieme, i cui elementi sono le classi di equivalenza della relazione di equivalenza sull'insieme.

Viceversa, ogni partizione di un insieme individua una e una sola prelazione di equivalenza definita sull'insieme".

Il nostro punto fisso è che ci deve essere sempre e comunque una classe di equivalenza, cioè ci deve sempre essere un determinato elemento di ciascuna partizione che considereremo: questo sottoinsieme qui



e per il resto? A seconda di cosa e chi consideriamo come classe di equivalenza, cioè a seconda di come definiamo una partizione di avente l'elemento , otteniamo una certa relazione di equivalenza su .

La domanda ora è: come possiamo prendere partizioni di , fissando preventivamente come elemento della partizione ?

Abbiamo diverse possibilità, in particolare tutte e sole le seguenti























e poi: le partizioni con due coppie di elementi più uno, una terna e due singoli, una terna e una coppia, una quaterna e un elemento singolo, una cinquina l'unica) ci siamo capiti...

Tutte queste partizioni individuano relazioni di equivalenza su , con la richiesta che gli elementi pari siano in relazione tra loro.

Può andare? Passiamo al punto 2.?

Benissimo, può andare andiamo avanti

Ok

MaryADC90 ha scritto:


Per determinare la famiglia di relazioni di equivalenza che soddisfano la richiesta 2., basta ragionare come nel caso del punto 1. prendendo però come elemento presente in ciascuna partizione



Per quanto riguarda il punto 3., la richiesta è quantomeno oscura: se la richiesta fa riferimento al punto 2., basterà prendere la famiglia di relazioni tali per cui se , e si può prendere (opp. , , , ). In questi casi avremmo infatti che



poiché è l'unico elemento divisibile per .

Possiamo inoltre vedere sin da subito che non esiste alcuna relazione di equivalenza tale da soddisfare 1. e 2., perché ad esempio per 1. mentre per 2. .

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Se scegliamo come relazione di equivalenza la relazione avente come partizione corrispondente



L'insieme quoziente della relazione corrispondente ha come elementi questi due insiemi, e la cardinalità del quoziente è proprio il numero di classi di equivalenza, cioè il numero di elementi (insiemi) della partizione.

Per quanto riguarda le sezioni della proiezione canonica : me ne dai la definizione rigorosa?

La proiezione canonica è una funzione che associa a ciascun elemento di A la sua classe di equivalenza... ehm... è così? Essendo l'applicazione suriettiva (perchè ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio) avrà per definizione una sezione, che è appunto l'applicazione A/epsilon--->A. Giusto? Ho dubbi amletici ormai

Sulla definizione di proiezione canonica associata ad una relazione di equivalenza non ci sono dubbi, il mio personalissimo problema è che non conosco la definizione di sezione - o meglio è una nozione che con ogni probabilità conosco ma non mi è mai stata presentata con il nome di "sezione"..

Sia f:A-->B un'applicazione. Per definizione, un'applicazione g:B-->A si dice:
Sezione di f se gf=idB
Retrazione di f se fg=idA
Inversa di f se g è sia una sezione sia una retrazione di f.

[Link rimosso - risorsa non più disponibile]

La proiezione canonica associata a è suriettiva:



L'insieme quoziente ha un numero di elementi (classi di equivalenza) che dipende dalla particolare relazione di equivalenza considerata.

Tutto quello che ci serve è il seguente risultato (cito testualmente)



Per noi e è l'insieme quoziente.