Esercizio: classificazione di coniche degeneri e non degeneri

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Esercizio: classificazione di coniche degeneri e non degeneri #99891

avt
Erdős
Cerchio
Ho bisogno di capire come risolvere il seguente esercizio che mi chiede di riconoscere le coniche degeneri da quelle non degeneri a partire dalle loro equazioni in coordinate non omogenee. Come si fa?

Fissato l'usuale sistema di riferimento RC(O,x,y) nel piano cartesiano, stabilire se le seguenti equazioni individuano coniche degeneri o non degeneri:

\\ (a) \ \ \ \mathrm{C}_1:\ x^2+xy-y+1=0\\ \\ (b) \ \ \ \mathrm{C}_2:\ 2x^2+3y^2-7xy-3x-y-2=0 \\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{C}_3:\ x^2+y^2+2x-2y-1=0

Grazie.
 
 

Esercizio: classificazione di coniche degeneri e non degeneri #101323

avt
Ifrit
Amministratore
In generale, all'equazione di una conica \mathrm{C}

\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

è possibile associare la matrice simmetrica

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}

detta matrice dei coefficienti della conica. In base al determinante della matrice, possiamo stabilire se \mathrm{C} è una conica degenere oppure no. Più precisamente se il determinante della matrice dei coefficienti è zero, allora la conica è degenere, in caso contrario la conica è non degenere.

Per risolvere l'esercizio occorre quindi determinare la matrice dei coefficienti, calcolarne il determinante e attenersi alla regola.

Esaminiamo la conica \mathrm{C}_1 descritta dall'equazione

\mathrm{C}_1:\ x^2+xy-y+1=0

- Il coefficiente del termine in x^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente del termine in y^2 è a_{22}=0;

- il coefficiente del termine in xy è 2a_{12}=1, da cui a_{12}=\frac{1}{2};

- il coefficiente del termine in x è 2a_{13}=0, da cui a_{13}=0;

- il coefficiente del termine in y è 2a_{23}=-1, da cui a_{23}=-\frac{1}{2};

- il termine noto è infine a_{33}=1.

Grazie a queste informazioni siamo in grado di scrivere la matrice dei coefficienti

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&&\dfrac{1}{2}&&0\\ \\ \dfrac{1}{2}&&0&&-\dfrac{1}{2}\\ \\ 0&&-\dfrac{1}{2}&&1\end{pmatrix}

Calcolandone il determinante con la regola di Sarrus, o ancora con la regola di Laplace, scopriamo che:

\mbox{det}(A)=-\frac{1}{2}\ne 0

per cui \mathrm{C}_1 è una conica non degenere.

Consideriamo la conica \mathrm{C}_2 di equazione

\mathrm{C}_2:\ 2x^2+3y^2-7xy-3x-y-2=0

ed esplicitiamo i suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in x^2 è a_{11}=2;

- il coefficiente del termine in y^2 è a_{22}=3;

- il coefficiente del termine in xy è 2a_{12}=-7, da cui a_{12}=-\frac{7}{2};

- il coefficiente del termine in x è 2a_{13}=-3, da cui a_{13}=-\frac{3}{2};

- il coefficiente del termine in y è 2a_{23}=-1, da cui a_{23}=-\frac{1}{2};

- il termine noto è a_{33}=-2.

Grazie a questi valori, scriviamo la matrice associata alla conica

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&&-\dfrac{7}{2}&&-\dfrac{3}{2}\\ \\ -\dfrac{7}{2}&&3&&-\dfrac{1}{2}\\ \\ -\dfrac{3}{2}&&-\dfrac{1}{2}&&-2\end{pmatrix}

Usando la regola di Sarrus, oppure la regola di Laplace, scopriamo che il determinante della matrice di \mathrm{C}_2 è zero, per cui la conica è degenere.

Determiniamo la matrice dei coefficienti associata alla conica \mathrm{C}_3 di equazione

\mathrm{C}_3:\ x^2+y^2+2x-2y-1=0

osservando che:

- il coefficiente del termine in x^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente del termine in y^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente del termine in xy è 2a_{12}=0, da cui a_{12}=0;

- il coefficiente del termine in x è 2a_{13}=2, da cui a_{13}=1;

- il coefficiente del termine in y è 2a_{23}=-2, da cui a_{23}=-1;

- il termine noto è a_{33}=-1.

La matrice dei coefficienti associata a \mathrm{C}_3 è quindi:

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&-1\\ 1&-1&-1\end{pmatrix}

Se calcoliamo il suo determinante con la regola di Sarrus, scopriamo che:

\mbox{det}(A)=-3\ne 0

e poiché è non nullo, \mathrm{C}_3 è una conica non degenere.

È fatta!
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Os