Esercizio su conica con parametro, retta non omogenea e punto all'infinito

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Esercizio su conica con parametro, retta non omogenea e punto all'infinito #99566

avt
AntonKZ
Punto
Avrei bisogno di voi per trovare i parametri di un'equazione omogenea di una conica del piano complessificato e ampliato, sapendo che passa per due punti e per il punto improprio di una retta di cui conosco l'equazione. Dovrei inoltre scrivere le matrici associate alla conica. Potreste aiutarmi?

Trovare gli eventuali valori dei parametri reali a,b tali che la conica \mathrm{C}, di equazione in coordinate omogenee

\mathrm{C}:\ ax_1^2+bx_2^2-(1+a)x_1x_3+x_2x_3-x_3^2=0

passi per il punto A(1,1,1) e per il punto all'infinito della retta r di equazioni non omogenee

r:\ x-y+1=0

Per questi valori dei parametri scrivere le matrici associate alla conica.

Grazie.
 
 

Esercizio su conica con parametro, retta non omogenea e punto all'infinito #101322

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel determinare i parametri reali a,b affinché la relazione

\mathrm{C}:\ ax_1^2+bx_2^2-(1+a)x_1x_3+x_2x_3-x_3^2=0

sia l'equazione della conica passante per il punto proprio del piano ampliato

A(\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\tilde{x}_3)=(1,1,1)

e per il punto all'infinito della retta r descritta dall'equazione

r:\ x+y-1=0

Per risolvere il problema imponiamo il passaggio di \mathrm{C} per il punto A

A\in\mathrm{C} \ \iff \ a\tilde{x}_1^2+b\tilde{x}_2^2-(1+a)\tilde{x}_1\tilde{x}_3+\tilde{x}_2\tilde{x}_3-\tilde{x}_3^2=0

così da ricavare il primo vincolo sui parametri:

\\ a\cdot 1^2+b\cdot 1^2-(1+a)\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1-1^2=0 \\ \\ a+b-1-a+1-1=0 \\ \\ b-1=0

Il prossimo passo consiste nel calcolare il punto all'infinito della retta r. Per determinarlo, scriviamo l'equazione della retta in coordinate omogenee effettuando le sostituzioni

x=\frac{x_1}{x_3} \ \ \ ,\ \ \ y=\frac{x_2}{x_3} \ \ \ \mbox{con} \ x_3\ne 0

nella relazione

r:\ x+y-1=0

che diventa

\\ \frac{x_1}{x_3}+\frac{x_2}{x_3}-1=0 \\ \\ \\ \frac{x_1+x_2-x_3}{x_3}=0\\ \\ x_1+x_2-x_3=0

L'equazione omogenea di r è quindi

r:\ x_1+x_2-x_3=0

che descrive anche il punto improprio P_{\infty} della retta, a patto di far cadere il vincolo x_3\ne 0.

Il punto all'infinito di r è soluzione del sistema tra la retta omogenea di r e quella della retta impropria r_{\infty} di equazione x_3=0

\begin{cases}x_1+x_2-x_3=0\\ x_3=0\end{cases}

da cui

\begin{cases}x_1=-x_2\\ x_3=0\end{cases}

Il sistema è soddisfatto da tutte le triple della forma

(x_1,x_2,x_3)=(-x_2,x_2,0) \ \ \ \mbox{con} \ x_2\ne 0

il cui rappresentante è P_{\infty}(-1,1,0).

Osservazione: si tenga a mente che nel piano ampliato sussiste la relazione di equivalenza secondo cui due punti sono equivalenti se e solo se le coordinate sono proporzionali.

Imponiamo il passaggio della conica per il punto all'infinito

P_{\infty}\in\mathrm{C} \ \iff \ a\cdot(-1)^2+b\cdot 1^2-(1+a)\cdot(-1)\cdot 0+1\cdot 0-0^2=0

da cui si ottiene il vincolo:

a+b=0

Mettiamo a sistema i due vincoli ottenuti

\begin{cases}b-1=0\\ a+b=0\end{cases}

e risolviamolo con il metodo di sostituzione

\begin{cases}b=1\\ a=-b=-1\end{cases}

I valori dei parametri per i quali \mathrm{C} passa per i punti A e P_{\infty} sono

a=-1 \ \ \ ,\ \ \ b=1

per cui l'equazione della conica in coordinate omogenee è:

\mathrm{C}:\ -x_1^2+x_2^2+x_2x_3-x_3^2=0

Per scrivere le matrici associate alla conica è opportuno ricordare che se l'equazione è scritta in coordinate omogenee, ossia se è nella forma

\mathrm{C}:\ a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2=0

allora le matrici simmetriche

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}\\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

sono rispettivamente la matrice dei coefficienti di \mathrm{C} e la matrice dei termini quadratici.

Nel caso in esame:

- il coefficiente del termine in x_1^2 è a_{11}=-1;

- il coefficiente del termine in x_2^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente del termine in x_1x_2 è 2a_{12}=0, da cui a_{12}=0;

- il coefficiente del termine in x_1x_3 è 2a_{13}=0, da cui a_{13}=0;

- il coefficiente del termine in x_2x_3 è 2a_{23}=1, da cui a_{23}=\frac{1}{2};

- il coefficiente del termine in x_3^2 è a_{33}=-1

pertanto la matrice dei coefficienti associata alla conica è:

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&1&\frac{1}{2}\\ 0&\frac{1}{2}&-1\end{pmatrix}

mentre la matrice dei termini quadratici si ottiene da A cancellando la terza riga e la terza colonna

A_{33}=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&1\end{pmatrix}

È fatta!
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