Conica con parametro passante per tre punti

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Conica con parametro passante per tre punti #99565

avt
MayaGian
Punto
Dovrei determinare l'equazione di una conica con parametri che passa per tre punti di cui conosco le coordinate. Dovrei scrivere inoltre le matrici della conica per questi valori fissati.

Determinare i valori che devono assumere i parametri reali a,b,c affinché la conica \mathrm{C} di equazione

\mathrm{C}:\ ax^2+by^2+cxy+5x-5=0

passi per i punti A,B,C di coordinate

A(1,1) \ \ \ ,\ \ \ B(1,2)\ \ \ , \ \ \ C(-2,1)

Per questi valori dei parametri scrivere le matrici associate alla conica.

Grazie.
 
 

Conica con parametro passante per tre punti #101321

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di determinare i valori dei parametri reali a,b,c affinché la relazione

\mathrm{C}:\ ax^2+by^2+cxy+5x-5=0

sia l'equazione di una conica passante per i punti:

\\ A(x_A,y_A)=(1,1) \\ \\ B(x_{B},y_{B})=(1,2)\\ \\ C(x_{C},y_{C})=(-2,1)

Per risolvere il problema dobbiamo ricorrere alla condizione di appartenenza: un punto appartiene alla conica se e solo se le coordinate del punto soddisfa l'equazione della conica.

Imponiamo la condizione di appartenenza per il punto A

A\in\mathrm{C} \ \iff \ ax_A^2+by_A^2+cx_Ay_A+5x_A-5=0

da cui segue il primo vincolo sui parametri

\\ a\cdot 1^2+b\cdot 1^2+c\cdot 1\cdot 1+5\cdot 1-5=0 \\ \\ a+b+c+5-5=0 \\ \\ a+b+c=0

Imponiamo la condizione di appartenenza per il punto B

B\in\mathrm{C} \ \iff \ ax_B^2+by_B^2+cx_By_B+5x_B-5=0

da cui segue il secondo vincolo cui devono sottostare i parametri

\\ a\cdot 1^2+b\cdot 2^2+c\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1-5=0 \\ \\ a+4b+2c+5-5=0\\ \\ a+4b+2c=0

Imponiamo la condizione di appartenenza per il punto C

C\in\mathrm{C} \ \iff \ ax_C^2+by_C^2+cx_Cy_C+5x_C-5=0

vale a dire

\\ a(-2)^2+b\cdot 1^2+c(-2)\cdot 1+5\cdot(-2)-5=0 \\ \\ 4a+b-2c-15=0

Usiamo le tre relazioni per costituire il sistema lineare nelle incognite a,b,c

\begin{cases}a+b+c=0\\ a+4b+2c=0\\ 4a+b-2c=15\end{cases}

Risolviamolo con il metodo di sostituzione: dalla prima equazione isoliamo a e sostituiamo l'espressione che ne consegue nelle altre

\\ \begin{cases}a=-b-c\\ -b-c+4b+2c=0\\ 4(-b-c)+b-2c=15\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}a=-b-c\\ 3b+c=0\\ -3b-6c=15\end{cases}

Dalla seconda equazione segue che c=-3b e sostituendo nella terza, il sistema diventa

\begin{cases}a=-b-c\\ c=-3b\\ -3b-6(-3b)=15\ \ \ \to \ \ \ 15b=15\end{cases}

Dalla terza equazione otteniamo b=1 e procedendo con le opportune sostituzioni all'indietro, scopriamo che il sistema lineare è soddisfatto dalla tripla

(a,b,c)=(2,1,-3)

per cui l'equazione della conica passante per i tre punti è

\mathrm{C}:\ 2x^2+y^2-3xy+5x-5=0

Ricordiamo che in generale all'equazione di una conica

\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

sono associate due matrici simmetriche:

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}

detta matrice dei coefficienti della conica, e la sua sottomatrice

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

Nel caso in esame:

- il coefficiente del termine in x^2 è a_{11}=2;

- il coefficiente del termine in y^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente del termine in xy è 2a_{12}=-3, da cui a_{12}=-\frac{3}{2};

- il coefficiente del termine in x è 2a_{13}=5, da cui a_{13}=\frac{5}{2};

- il coefficiente del termine in y è 2a_{23}=0, da cui a_{23}=0;

- il termine noto è a_{33}=-5

per cui la matrice dei coefficienti di \mathrm{C} è:

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&&-\dfrac{3}{2}&&\dfrac{5}{2}\\ \\ -\dfrac{3}{2}&&1&&0\\ \\ \dfrac{5}{2}&&0&&-5\end{pmatrix}

mentre la matrice dei termini quadratici A_{33} si ottiene cancellando la terza riga e la terza colonna di A

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&&-\dfrac{3}{2}\\ \\ -\dfrac{3}{2}&&1\end{pmatrix}

Problema risolto!
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