Matrice dei coefficienti di una conica con parametro

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Matrice dei coefficienti di una conica con parametro #99552

avt
FAQ
Frattale
Mi è capitato un esercizio sulla matrice associata a una conica in cui figura un parametro che non sono in grado di risolvere. Mi viene chiesto di determinare gli eventuali valori di un parametro affinché una matrice sia effettivamente la matrice dei coefficienti di una conica. Successivamente dovrei scrivere l'equazione della conica in coordinate non omogenee.

Determinare gli eventuali valori del parametro k affinché la seguente matrice sia effettivamente la matrice dei coefficienti di una conica

A=\begin{pmatrix}1&k^2-1&0\\ -2k-2&2&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}

Per questi valori scrivere l'equazione della conica in coordinate non omogenee.

Grazie.
Ringraziano: Ifrit
 
 

Matrice dei coefficienti di una conica con parametro #101320

avt
Ifrit
Amministratore
La matrice dei coefficienti di una conica A è una matrice simmetrica pertanto deve sottostare al vincolo

A=A^{T}

In altri termini A deve coincidere con la sua matrice trasposta.

Questa osservazione detta la strategia risolutiva al problema: calcoleremo la trasposta della matrice

A=\begin{pmatrix}1&k^2-1&0\\ -2k-2&2&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}

dopodiché imporremo che coincida con A stessa.

Per calcolare la trasposta di A basta scambiare le righe della matrice con le sue colonne

A^{T}=\begin{pmatrix}1&-2k-2&0\\ k^2-1&2&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}

Richiediamo che A sia uguale alla sua trasposta

A=A^{T} \ \iff \ \begin{pmatrix}1&k^2-1&0\\ -2k-2&2&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2k-2&0\\ k^2-1&2&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}

e per farlo mettiamo a sistema le equazioni che si ottengono uguagliando le componenti omologhe, tralasciando le evidenti identità

\begin{cases}k^2-1=-2k-2\\ -2k-2=k^2-1\end{cases}

Portiamo al primo membro tutti i termini, prestando la massima attenzione ai segni, e sommiamo i monomi simili

\begin{cases}k^2+2k+1=0\\k^2+2k+1=0\end{cases}

Il sistema è ridondante, nel senso che le equazioni che lo compongono sono identiche, per cui è sufficiente ricavare le soluzioni di una sola.

k^2+2k+1=0

Essa è un'equazione di secondo grado che possiamo risolvere scomponendo il polinomio al primo membro: se osserviamo bene, k^2+2k+1 è lo sviluppo del quadrato del binomio k+1

(k+1)^2=0

Poiché che un quadrato è zero se e solo se la sua base lo è, possiamo scrivere l'equazione equivalente

k+1=0 \ \ \ \to \ \ \ k=-1

Possiamo concludere che A è la matrice dei coefficienti di una conica nel momento in cui k=-1, valore per il quale la matrice diviene

A=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&2&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}

Per scrivere l'equazione della conica associata ad A basta uguagliare a zero il prodotto matriciale

\mathbf{x}\,A\,\mathbf{x}^{T} \ \ \ \mbox{con} \ \mathbf{x}=(x,y,1)

ossia

\mathrm{C}:\ (x,y,1)\,\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&2&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}=0

Svolgiamo il prodotto

\\ (x,y,1)\,\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&2&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =(x,\ 1+2y,\ y)\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}= \\ \\ = x^2+(1+2y)y+y= \\ \\ = x^2+2y^2+2y

e imponiamo che sia uguale a zero

\mathrm{C}:\ x^2+2y^2+2y=0

Ecco fatto!
  • Pagina:
  • 1
Os