Conica con parametro passante per un punto

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Conica con parametro passante per un punto #99532

avt
si1
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un esercizio sulle coniche: dovrei determinare i valori che assume un parametro reale affinché un punto appartenga a una conica. Come dovrei fare?

Determinare il valore del parametro reale k affinché la conica \mathrm{C} di equazione

\mathmr{C}:\ x^2+y^2+k x y-(2k-1)x+y=0

passi per il punto A(1,1). Se la conica passa per il punto B(2,-1), qual è il valore assunto da k?

Grazie.
 
 

Conica con parametro passante per un punto #101319

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo l'equazione della conica \mathrm{C}

\mathrm{C}:\ x^2+y^2+k x y-(2k-1)x+y=0

Il nostro obiettivo consiste nel determinare il valore che deve assumere il parametro reale k affinché la conica passi per il punto

A(x_{A},y_{A})=(1,1)

e per farlo è sufficiente imporre la condizione di appartenenza: un punto appartiene a una conica se e solo se le coordinate del punto soddisfano l'equazione che la descrive, ossia:

A\in\mathrm{C} \ \iff \ x_{A}^2+y_{A}^2+k x_{A} y_{A}-(2k-1)x_{A}+y_{A}=0

Sostituendo le coordinate di A, la relazione diventa

\\ 1^2+1^2+k\cdot 1\cdot 1-(2k-1)\cdot 1+1=0

ossia

4-k=0 \ \ \ \to \ \ \ k=4

Per fare in modo che la conica passi per il punto A, k dev'essere uguale a 4.

Usiamo la stessa strategia per ricavare il valore del parametro k affinché la conica passi per il punto B, di coordinate

B(x_B,y_B)=(2,-1)

B\in\mathrm{C} \ \iff \ x_{B}^2+y_{B}^2+k x_{B} y_{B}-(2k-1)x_{B}+y_{B}=0

ossia

2^2+(-1)^2+k\cdot 2\cdot (-1)-(2k-1)\cdot 2+(-1)=0

Una volta svolti i calcoli otteniamo l'equazione di primo grado nell'incognita k

6-6k=0 \ \ \ \to \ \ \ k=1

In definitiva \mathrm{C} passa per il punto B se e solo se k=1. Abbiamo finito.
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