Dimensione di uno spazio vettoriale di polinomi

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Dimensione di uno spazio vettoriale di polinomi #995

avt
xavier310
Sfera
Avrei bisogno di una mano per risolvere un esercizio che chiede di dimostrare che un insieme di polinomi è una base dello spazio vettoriale \mathbb{R}_2[x] e, successivamente, di determinarne la dimensione.

Siano p_1(x), p_2(x), p_3(x) \in \mathbb{R}_2[x] i polinomi

p_1(x)=1+x^2 \ \ ; \ \ p_2(x)=1+x \ \ ; \ \ p_3(x)=x+x^2

Dimostrare che costituiscono una base di \mathbb{R}_2[x] e calcolare la dimensione di \mathbb{R}_2[x].
Ringraziano: Pigreca♥, motta4
 
 

Dimensione di uno spazio vettoriale di polinomi #1002

avt
Galois
Amministratore
Una base di uno spazio vettoriale V è, per definizione, un insieme di vettori linearmente indipendenti e un sistema di generatori di V.

\mathbb{R}_2[x] indica lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2, nella variabile x e a coefficienti reali. Per quanto ricordato

p_1(x)=1+x^2 \ \ ; \ \ p_2(x)=1+x \ \ ; \ \ p_3(x)=x+x^2

costituiscono una base di \mathbb{R}_2[x] se e solo se:

(1) p_1(x), p_2(x), p_3(x) sono linearmente indipendenti, e

(2) \{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} è un insieme di generatori di \mathbb{R}_2[x].


Verifica della proprietà (1) - indipendenza lineare

p_1(x), p_2(x), p_3(x) sono linearmente indipendenti se, imponendo che sia

\lambda_1 p_1(x) + \lambda_2 p_2(x) + \lambda_3 p_3(x) = 0

con \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R}, gli unici scalari che soddisfano l'uguaglianza sono \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0.

Procediamo!

\lambda_1(1+x^2) + \lambda_2(1+x) + \lambda_3(x+x^2) = 0

Svolgiamo le operazioni a primo membro

\lambda_1 + \lambda_1 x^2 + \lambda_2 + \lambda_2 x + \lambda_3 x + \lambda_3 x^2 = 0

e scriviamo il polinomio risultante in forma normale

\lambda_1+\lambda_2 + (\lambda_2+\lambda_3)x + (\lambda_1+\lambda_3)x^2=0

Per il principio di identità dei polinomi, la precedente relazione equivale al sistema lineare omogeneo

\begin{cases}\lambda_1+\lambda_2=0 \\ \lambda_2+\lambda_3=0 \\ \lambda_1+\lambda_3=0\end{cases}

Dalla teoria sui sistemi lineari è noto che un sistema lineare e omogeneo ammette come unica soluzione quella banale se e solo se la rispettiva matrice dei coefficienti ha rango uguale al numero delle incognite.

Tale matrice è

A=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 0&1&1 \\ 1&0&1\end{pmatrix}

Calcoliamone il determinante con uno sviluppo di Laplace riferito alla prima riga

\\ \mbox{det}(A)=(-1)^{1+1} \cdot 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}1&1 \\ 0&1\end{pmatrix} + (-1)^{1+2} \cdot 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}0&1 \\ 1&1\end{pmatrix} = \\ \\ = 1 \cdot (1-0) - 1 \cdot (0-1) = 1+1=2

A ha determinante diverso da zero e quindi, per il criterio dei minori, il suo rango è 3.

Da ciò segue che il sistema ha come unica soluzione

(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(0,0,0)

cosicché p_1(x), p_2(x), p_3(x) sono linearmente indipendenti.


Verifica della proprietà (2) - sistema di generatori

\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} è un insieme di generatori di \mathbb{R}_2[x] se ogni elemento di \mathbb{R}_2[x] si può esprimere sotto forma di combinazione lineare dei polinomi dell'insieme, ossia se per ogni

q(x)=a+bx+cx^2 \in \mathbb{R}^2[x]

esistono \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R} tali che

q(x)=\lambda_1 p_1(x) + \lambda_2 p_2(x) + \lambda_3 p_3(x)

Abbiamo già calcolato la forma normale del polinomio a secondo membro nella verifica della lineare indipendenza, per cui passiamo direttamente all'uguaglianza

a+bx+cx^2=\lambda_1+\lambda_2 + (\lambda_2+\lambda_3)x + (\lambda_1+\lambda_3)x^2

che equivale al sistema lineare parametrico

\begin{cases}\lambda_1+\lambda_2=a \\ \lambda_2+\lambda_3=b \\ \lambda_1+\lambda_3=c\end{cases}

Se ammette soluzione per ogni a,b,c \in \mathbb{R}, allora \{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} è un sistema di generatori.

Le matrici associate al sistema sono

A=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 0&1&1 \\ 1&0&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&a \\ 0&1&1&b \\ 1&0&1&c\end{array}\right)

Abbiamo già calcolato il rango di A, che è 3.

(A|\mathbf{b}) è una matrice 3 \times 4, per cui il suo rango è al massimo 3.

A è una sua sottomatrice 3 \times 3 di rango massimo, per cui anche il rango di (A|\mathbf{b}) è 3.

Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette un'unica soluzione per ogni a,b,c \in \mathbb{R}, pertanto \{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} è un insieme di generatori di \mathbb{R}_2[x], nonché una sua base.

Per terminare l'esercizio dobbiamo calcolare la dimensione di \mathbb{R}_2[x]. A tal proposito è sufficiente ricordare che la dimensione di uno spazio vettoriale è uguale alla cardinalità di una sua qualsiasi base.

Avendo trovato una base di \mathbb{R}_2[x] formata da tre polinomi, possiamo concludere che

\mbox{dim}\left(\mathbb{R}_2[x]\right)=3.

Fine!
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, Pigreca♥, StefanoF, motta4
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Os