Dimensione dello spazio vettoriale dei polinomi

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Dimensione dello spazio vettoriale dei polinomi #995

avt
xavier310
Sfera
Buonasera, avrei bisogno di chiarimenti riguardo alla dimensione di uno spazio vettoriale di polinomi. In un esercizio, questo esercizio, in una parte dello svolgimento si dice:

Considera i polinomi p1(t)=t2+1, p2(t)=t+1, p3(t)=t2+t. Dimostra che costituiscono una base dello spazio vettoriale R2[t] dei polinomi a coefficienti reali in una variabile di grado minore o uguale a due.

Mi spiegate perché nella soluzione è implicito il fatto che lo spazio vettoriale dei polinomi R2[t] ha dimensione 3? Perchè?
Ringraziano: Pigreca♥, motta4
 
 

Dimensione dello spazio vettoriale dei polinomi #1002

avt
thejunker
Frattale
ciao Xavier, allora come definizione la dimensione di uno spazio vettoriale è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che puoi prendere nello spazio vettoriale.
Quindi facendo i relativi calcoli


\alpha(t^2+1)+\beta(t+1)+\gamma(t^2+t)\ =\ (0,0,0)


Essi saranno linearmente indipendenti se e solo se la terna \alpha,\beta,\gamma è uguale al vettore nullo.

Svolgendo i calcoli noterai che essi sono linearmente indipendenti, quindi hai ottenuto una base del tuo spazio vettoriale con 3 elementi, dunque lo spazio ha dimensione 3.
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, Pigreca♥, StefanoF, motta4

Dimensione dello spazio vettoriale dei polinomi #1004

avt
xavier310
Sfera
Grazie. Ultima cosa: cosa indica la notazione " R2[t] "?

Dimensione dello spazio vettoriale dei polinomi #1007

avt
frank094
Maestro
xavier310 ha scritto:
Grazie. Ultima cosa: cosa indica la notazione " R2[t] "?

Ciao Xavier, in generale si indica R_{k}[t] l'insieme di tutti i polinomi - coefficienti reali, una variabile - di grado minore o uguale a k \in \mathbb{N}.

Nel tuo caso R_{2}[t] altro non indica che l'insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali nella sola variabile t con grado minore uguale di due.
Esempi sono:

a(t) = 3 \quad \rightarrow \quad deg[a] = 0

q(t) = 3t - 2 \quad \rightarrow \quad deg[q] = 1

k(t) = 2t^{2} + 2t - 1 \quad \rightarrow \quad deg[k] = 2

Non vanno bene invece

w(t) = 3t^{3} - 2 \quad \rightarrow \quad deg[w] = 3

e(t) = 2t^{4} + 2t^{3} - 1 \quad \rightarrow \quad deg[e] = 4

Dove con deg[..] = .. indico semplicemente il grado del polinomio tra parentesi quadre!
Ringraziano: Omega, Ifrit, xavier310, CarFaby, Pigreca♥, 3²+4²=5²

Dimensione dello spazio vettoriale dei polinomi #1020

avt
xavier310
Sfera
Grazie, sei stato perfetto nella spiegazione
Ringraziano: frank094, Mich18
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Os