Equazioni di coniche omogenee dalle matrici dei coefficienti

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Equazioni di coniche omogenee dalle matrici dei coefficienti #99493

avt
Chagall
Punto
Ho bisogno di aiuto per scrivere le equazioni in coordinate omogenee di alcune coniche a partire dalle matrici dei coefficienti associate. Sinceramente non ho capito come fare.

Fissato il sistema di riferimento cartesiano RC(O,x,y) nel piano, determinare le equazioni delle coniche individuate dalle seguenti matrici dei coefficienti, esprimendole in coordinate omogenee:

\\ (a) \ \ \ A_1=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&2&-1\\ 0&-1&2\end{pmatrix} \\ \\ \\ (b)\ \ \ A_2=\begin{pmatrix}0&1&\frac{1}{2}\\ 1&-1&0\\ \frac{1}{2}&0&2\end{pmatrix}\\ \\ \\ (c) \ \ \ A_3=\begin{pmatrix}0&1&3\\ 1&0&-1\\ 3&-1&1\end{pmatrix}

Grazie.
 
 

Equazioni di coniche omogenee dalle matrici dei coefficienti #101318

avt
Ifrit
Amministratore
Se disponiamo della matrice dei coefficienti di una conica A, allora siamo in grado di esplicitare l'equazione della conica espressa in coordinate omogenee: è sufficiente uguagliare a zero il prodotto matriciale

\mathbf{x}_1\, A\,\mathbf{x}_1^{T} \ \ \ \mbox{con} \ \mathbf{x}_1=(x_1,x_2,x_3)

Per scrivere l'equazione della conica \mathrm{C}_1, con matrice dei coefficienti

A_1=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&2&-1\\ 0&-1&2\end{pmatrix}

calcoliamo il prodotto \mathbf{x}_1\, A_1\,\mathbf{x}_1^{T}

\mathbf{x}_1\, A_1\,\mathbf{x}_1^{T}=(x_1,x_2,x_3)\,\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&2&-1\\ 0&-1&2\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =(x_1+x_2, \ x_1+2x_2-x_3,\ -x_2+2x_3)\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =(x_1+x_2)x_1+(x_1+2x_2-x_3)x_2+(-x_2+2x_3)x_3=\\ \\ =x_1^2+2x_2^2+2x_1x_2-2x_2x_3+2x_3^2

e imponiamo che sia uguale a zero

\\ \mathrm{C}_1:\ \mathbf{x}_1\,A_1\,\mathbf{x}_1^{T}=0\\ \\ \mathrm{C}_1:\ x_1^2+2x_2^2+2x_1x_2-2x_2x_3+2x_3^2=0

Scriviamo l'equazione in coordinate omogenee della conica \mathrm{C}_2, sapendo che la matrice dei coefficienti è:

A_2=\begin{pmatrix}0&1&\frac{1}{2}\\ 1&-1&0\\ \frac{1}{2}&0&2\end{pmatrix}

Calcoliamo il prodotto \mathbf{x}_1\, A_2\,\mathbf{x}_{1}^{T}

\\ \mathbf{x}_1\,A_2\,\mathbf{x}_{1}^{T}=(x_1,x_2,x_3)\begin{pmatrix}0&1&\frac{1}{2}\\ 1&-1&0\\ \frac{1}{2}&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}=\\ \\ \\ = \left(x_2+\frac{x_3}{2},\ x_1-x_2,\ \frac{x_1}{2}+2x_3\right)\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =\left(x_2+\frac{x_3}{2}\right)x_1+(x_1-x_2)x_2+\left(\frac{x_1}{2}+2x_3\right)x_3=\\ \\ \\ =-x_2^2+2x_1x_2+x_1x3+2x_3^2

e imponiamo che il risultato sia uguale a zero

\mathrm{C}_1:\ -x_2^2+2x_1x_2+x_1x_3+2x_3^2=0

Consideriamo la matrice dei coefficienti

A_3=\begin{pmatrix}0&1&3\\ 1&0&-1\\ 3&-1&1\end{pmatrix}

L'equazione della conica \mathrm{C}_3 cui A_3 è associata si ricava imponendo che sia nullo il prodotto \mathrm{x}_1\, A_3,\, \mathrm{x}_1^{T}

Calcoliamo quindi il prodotto matriciale

\mathbf{x}_1\, A_3\,\mathbf{x}^{T}=(x_1,x_2,x_3)\begin{pmatrix}0&1&3\\ 1&0&-1\\ 3&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =(x_2+3x_3,\ x_1-x_3,\ 3x_1-x_2+x_3)\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =(x_1-x_3)x_2+(3x_1-x_2+x_3)x_3+(x_2+3x_3)x_1=\\ \\ =2x_1x_2+6x_1x_3-2x_2x_3+x_3^2

e imponiamo che sia uguale a zero

\\ \mathrm{C}_3:\ \mathbf{x}_1\, A_3\,\mathbf{x}_1^{T}=0\\ \\ \mathrm{C}_3:\ 2x_1x_2+6x_1x_3-2x_2x_3+x_3^2=0

È fatta!
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Os