Equazioni di coniche non omogenee dalle matrici dei coefficienti

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazioni di coniche non omogenee dalle matrici dei coefficienti #99325

avt
Koop
Punto
Dovrei risolvere un esercizio in cui mi vengono fornite tre matrici che identificano i coefficienti di altrettante coniche: da esse dovrei dedurre le equazioni espresse in coordinate non omogenee di ciascuna. Potreste aiutarmi?

Fissato il sistema di riferimento ortogonale standard RC(O,x,y) nel piano, scrivere le equazioni delle coniche con matrici dei coefficienti

\\ (a)\ \ \ A_1=\begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&2\\ 1&2&0\end{pmatrix} \\ \\ \\ (b) \ \ \ A_2=\begin{pmatrix}0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}\\ \\ \\ (c) \ \ \ A_3=\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&1\\ -\frac{1}{2}&1&0\\ 1&0&-3\end{pmatrix}

esprimendole in coordinate non omogenee.

Grazie.
 
 

Equazioni di coniche non omogenee dalle matrici dei coefficienti #101317

avt
Ifrit
Amministratore
Se è nota la matrice associata a una conica A, l'equazione espressa in coordinate non omogenee che la descrive è data da

\mathbf{x}A\mathbf{x}^{T}=0 \ \ \ \mbox{con} \ \mathbf{x}=(x,y,1)

In altri termini è sufficiente uguagliare a zero il prodotto matriciale \mathbf{x}A\mathbf{x}^{T}.

Per ricavare l'equazione della conica \mathrm{C}_1 la cui matrice associata è

A_1=\begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}

calcoliamo il prodotto

\\ \mathbf{x}\, A_1\, \mathbf{x}^{T}=(x,y,1)\begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =(x+1,\ y+2, \ x+2y)\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =(x+1)x+(y+2)+x+2y= \\ \\ =x^2+y^2+2x+4y

dopodiché imponiamo che il risultato sia uguale a zero

\mathrm{C}_1: \ x^2+y^2+2x+4y=0

Per ricavare l'equazione della conica \mathrm{C}_2, la cui matrice associata è

A_2=\begin{pmatrix}0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}

calcoliamo il prodotto \mathbf{x}\,A\,\mathbf{x}^{T}

\\ \mathbf{x}\,A_2\,\mathbf{x}^{T}=(x,y,1)\begin{pmatrix}0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =(y+1,\ x+1,\ x+y+2)\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =(y+1)x+(x+1)y+x+y+2= \\ \\ =2x y+2x+2y+2

e uguagliamo a zero il risultato

\mathrm{C}_2:\ 2xy+2x+2y+2=0

Volendo possiamo dividere per due membro a membro e scrivere l'equazione equivalente:

\mathrm{C}_2:\ xy+x+y+1=0

Per scrivere l'equazione della conica \mathrm{C}_3, la cui matrice dei coefficienti è:

A_{3}=\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&1\\ -\frac{1}{2}&1&0\\ 1&0&-3\end{pmatrix}

calcoliamo il prodotto \mathbf{x}\, A_3\,\mathbf{x}^{T}

\mathbf{x}\,A_3\,\mathbf{x}^{T}=(x,y,1)\,\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&1\\ -\frac{1}{2}&1&0\\ 1&0&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =\left(x-\frac{1}{2}y+1,\ -\frac{1}{2}x+y,\ x-3\right)\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =\left(x-\frac{1}{2}y+1\right)x+\left(-\frac{1}{2}x+y\right)y+x-3= \\ \\ \\ =x^2+y^2-x y+2x-3

e imponiamo che il risultato sia uguale zero ottenendo così la relazione:

\mathrm{C}_3:\ x^2+y^2-x y+2x-3=0

Problema risolto!
  • Pagina:
  • 1
Os