Matrice associata a una conica in coordinate omogenee

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Matrice associata a una conica in coordinate omogenee #99042

avt
Breaking_pep
Punto
Dovrei scrivere le matrici associate ad alcune coniche di cui conosco le equazioni in coordinate omogenee. Mi sono attenuto alla teoria, ma i risultati non coincidono con quelli forniti dal testo.

Scrivere le matrici associate a ciascuna delle seguenti coniche, descritte mediante equazioni in coordinate omogenee:

\\ (a) \ \ \ \mathrm{C}_1:\ x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+4x_1x_3-x_3^2=0\\ \\ (b)\ \ \ \mathrm{C}_2:\ 2x_1^2-x_2^2+x_1x_2-x_1x_3+x_2x_3-2x_3^2=0\\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{C}_3:\ x_1^2-2x_1x_2-3x_2x_3=0

Grazie.
 
 

Matrice associata a una conica in coordinate omogenee #101316

avt
Ifrit
Amministratore
L'equazione di una conica \mathrm{C}, espressa in coordinate omogenee si presenta nella forma

\mathrm{C}:\ a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^{2}+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2=0

Ad essa è possibile associare due matrici A\ \mbox{e}\ A_{33} dette rispettivamente matrice della conica e matrice dei termini quadratici.

La matrice della conica A è così definita

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}

mentre A_{33} è la sottomatrice di A che si ottiene cancellando la terza riga e la terza colonna

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

Si noti che entrambe sono matrici simmetriche, infatti sussistono le identità

A^{T}=A \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A_{33}^{T}=A_{33}

cioè sia A che A_{33} coincidono con le rispettive matrici trasposte.

Per costruire la matrice della conica potrebbe essere d'aiuto la tabella

\begin{array}{l|lllll}&x_1&&x_2&&x_3\\ \hline x_1&&&&&\\ &&&&&\\ x_2&&&&&\\ &&&&&\\ x_3&&&&&\end{array}

che va riempita attenendosi alle seguenti regole:

- sulla diagonale principale vanno inseriti i coefficienti dei termini in x_1^2,x_2^2,x_3^2;

- nelle restanti celle vanno inseriti i coefficienti dei termini misti divisi per due, prestando la massima attenzione agli incroci. A titolo di esempio nella cella intersezione tra la prima e la terza riga va inserito il coefficiente di x_1x_3 diviso per due.

Dopo questo preambolo, occupiamoci del problema. Consideriamo l'equazione

\mathrm{C}_1:\ x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+4x_1x_3-x_3^2=0

e concentriamoci sui suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in x_1^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente del termine in x_2^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente del termine in x_1x_2 è 2a_{12}=2, da cui a_{12}=1;

- il coefficiente del termine in x_1x_3 è 2a_{13}=4, da cui a_{13}=2;

- il coefficiente del termine in x_2x_3 è 2a_{23}=0, da cui a_{23}=0;

- il coefficiente del termine in x_3^2 è a_{33}=-1.

Ora disponiamo dei valori con cui costruire la matrice A

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&2\\ 1&1&0\\ 2&0&-1\end{pmatrix}

Eliminando la terza riga e la terza colonna, otteniamo la matrice dei termini quadratici

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}

Consideriamo l'equazione della conica \mathrm{C}_2

\mathrm{C}_2:\ 2x_1^2-x_2^2+x_1x_2-x_1x_3+x_2x_3-2x_3^2=0

ed esplicitiamo i suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in x_1^2 è a_{11}=2;

- il coefficiente del termine in x_2^2 è a_{22}=-1;

- il coefficiente del termine in x_1x_2 è 2a_{12}=1, da cui a_{12}=\frac{1}{2};

- il coefficiente del termine in x_1x_3 è 2a_{13}=-1, da cui a_{13}=-\frac{1}{2};

- il coefficiente del termine in x_2x_3 è 2a_{23}=1, da cui a_{23}=\frac{1}{2};

- il coefficiente del termine in x_3^2 è a_{33}=-2.

La matrice della conica \mathrm{C}_2 è:

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&-1&\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-2\end{pmatrix}

mentre la matrice dei termini quadratici è

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&-1\end{pmatrix}

Consideriamo l'equazione della conica \mathrm{C}_3

\mathrm{C}_3:\ x_1^2-2x_1x_2-3x_2x_3=0

e scriviamo i coefficienti:

- il coefficiente del termine in x_1^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente del termine in x_2^2 è a_{22}=0;

- il coefficiente del termine in x_1x_2 è 2a_{12}=-2, da cui a_{12}=-1;

- il coefficiente del termine in x_1x_3 è 2a_{13}=0, da cui a_{13}=0;

- il coefficiente del termine in x_2x_3 è 2a_{23}=-3, da cui a_{23}=-\frac{3}{2};

- il coefficiente del termine in x_3^2 è a_{33}=0.

La matrice dei coefficienti di \mathrm{C}_3 è

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\ -1&0&-\frac{3}{2}\\ 0&-\frac{3}{2}&0\end{pmatrix}

mentre la matrice dei coefficienti quadratici è

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\ -1&0\end{pmatrix}

Problema risolto.
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