Matrice associata a una conica in coordinate non omogenee

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Matrice associata a una conica in coordinate non omogenee #99030

avt
sergio.scalabrino
Punto
Ho bisogno di capire come si costruiscono le cosiddette matrici associate a una conica descritta mediante un'equazione in coordinate non omogenee. Cosa dovrei fare esattamente? Ad esempio come dovrei risolvere il seguente esercizio?

Scrivere le matrici associate alle coniche descritte dalle seguenti equazioni non omogenee

\\ (a) \ \ \ \mathrm{C}_1:\ y^2+2xy-3x+1=0\\ \\ (b) \ \ \ \mathrm{C}_2:\ x^2+y^2-3xy+2y-3=0\\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{C}_3:\ 3x^2+y^2-4xy-2x+y-2=0

Grazie.
 
 

Matrice associata a una conica in coordinate non omogenee #101315

avt
Ifrit
Amministratore
In generale all'equazione di una conica \mathrm{C} assegnata in coordinate non omogenee

\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

è possibile associare due matrici:

- la matrice della conica, una matrice simmetrica di ordine tre così composta:

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}

- la matrice dei termini quadratici, una sottomatrice di A ottenuta eliminando la terza riga e la terza colonna di A

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

Per agevolare la costruzione di A, possiamo avvalerci della tabella

\begin{array}{l|lllll}&x&&y&&1\\ \hline x&&&&&\\ &&&&& \\y&&&&&\\ &&&&&\\ 1&&&&&\end{array}

e la riempiremo attenendoci alle seguenti regole:

- nella diagonale principale inseriremo i coefficienti dei termini in x^2,y^2 e il termine noto;

- nelle altre caselle inseriremo la metà dei coefficienti dei termini in xy,x,y.

Più precisamente nella prima riga inseriremo nell'ordine il coefficiente di x^2, la metà del coefficiente di xy e la metà del coefficiente di x; nella seconda riga inseriremo nell'ordine la metà del coefficiente di xy, il coefficiente di y^2 e la metà del coefficiente di y; nella terza riga inseriremo infine la metà del coefficiente di x, la metà del coefficiente di y e il termine noto.

Una volta ottenuta A, è molto semplice scrivere la matrice dei termini quadratici.

Dopo aver ripetuto la teoria necessaria, determiniamo le matrici associate alla conica

\mathrm{C}_1:\ y^2+2xy-3x+1=0

- Il coefficiente di x^2 è a_{11}=0;

- il coefficiente di y^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente di xy è 2a_{12}=2 da cui a_{12}=1;

- il coefficiente di x è 2a_{13}=-3 per cui a_{13}=-\frac{3}{2};

- il coefficiente di y è 2a_{23}=0 per cui a_{23}=0;

- il termine noto è a_{33}=-1.

Con questi valori siamo in grado di costruire la matrice dei coefficienti

A=\begin{pmatrix}0&1&-\frac{3}{2}\\ 1&1&0\\ -\frac{3}{2}&0&-1\end{pmatrix}

La matrice dei termini quadratici è invece

A_{33}=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&1\end{pmatrix}

Esaminiamo l'equazione della conica \mathrm{C}_2

\mathrm{C}_2:\ x^2+y^2-3x y+2 y-3=0

- Il coefficiente di x^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente di y^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente di xy è 2a_{12}=-3, per cui a_{12}=-\frac{3}{2};

- il coefficiente di x è 2a_{13}=0, per cui a_{13}=0;

- il coefficiente di y è 2a_{23}=2, per cui a_{23}=1;

- il termine noto è infine a_{33}=-3.

La matrice dei coefficienti di \mathrm{C}_2 è:

A=\begin{pmatrix}1&-\frac{3}{2}&0\\ -\frac{3}{2}&1&1\\0&1&-3\end{pmatrix}

mentre la matrice dei termini quadratici è

A_{33}=\begin{pmatrix}1&-\frac{3}{2}\\ -\frac{3}{2}&1\end{pmatrix}

Consideriamo l'equazione della conica \mathrm{C}_3

\mathrm{C}_3:\ 3x^2+y^2-4xy-2x+y-2=0

ed estrapoliamone i coefficienti:

- il coefficiente di x^2 è a_{11}=3;

- il coefficiente di y^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente di xy è 2a_{12}=-4 da cui a_{12}=-2;

- il coefficiente di x è 2a_{13}=-2, da cui a_{13}=-1;

- il coefficiente di y è 2a_{23}=1, da cui a_{23}=\frac{1}{2};

- il termine noto è a_{33}=-2.

Grazie a questi valori scopriamo che la matrice dei coefficienti di \mathrm{C}_3 è:

A=\begin{pmatrix}3&-2&-1\\-2&1&\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}&-2\end{pmatrix}

mentre quella dei termini quadratici è:

A_{33}=\begin{pmatrix}3&-2\\ -2&1\end{pmatrix}

Problema risolto.
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