Esercizio: scrivere le equazioni di 3 coniche in coordinate non omogenee

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Esercizio: scrivere le equazioni di 3 coniche in coordinate non omogenee #99027

avt
Francescosorre
Punto
Avrei bisogno di una mano per svolgere un esercizio sulle equazioni omogenee delle coniche: mi sono date le equazioni in coordinate omogenee di tre coniche e devo esprimerle in coordinate non omogenee. Come devo fare?

Esprimere le equazioni di ciascuna delle seguenti coniche in coordinate non omogenee

\\ (a) \ \ \ \mathrm{C}_1:\ x_1^2+x_2^2+3x_1x_3-x_3^2=0\\ \\ (b)\ \ \ \mathrm{C}_2:\ x_1^2-x_2^2+3x_1x_2+x_1x_3-3x_3^2=0\\ \\ (c)\ \ \ \mathrm{C}_3:\ x_1^2+x_1x_3+x_2x_3+x_3^2=0

Grazie.
 
 

Esercizio: scrivere le equazioni di 3 coniche in coordinate non omogenee #101314

avt
Ifrit
Amministratore
In generale l'equazione di una conica espressa in coordinate omogenee si presenta nella forma

\mathrm{C}:\ a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2=0

È un'equazione omogenea di secondo nelle incognite x_1,x_2,x_3, tant'è che tutti i monomi che costituiscono il polinomio al primo membro hanno grado 2.

Per esprimere la relazione in coordinate non omogenee basta richiedere che x_3 sia diverso da zero, dopodiché si divide ciascun addendo per x_3^2

\\ \mathrm{C}:\ a_{11}\,\frac{x_1^2}{x_3^2}+a_{22}\,\frac{x_2^2}{x_3^{2}}+2a_{12}\,\frac{x_1x_2}{x_3^2}+2a_{13}\,\frac{x_1x_3}{x_3^2}+2a_{23}\frac{x_2x_3}{x_3^2}+a_{33}\frac{x_3^2}{x_3^2}=0\\ \\ \\ \mathrm{C}:\ a_{11}\,\left(\frac{x_1}{x_3}\right)^2+a_{22}\,\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2+2a_{12}\,\frac{x_1}{x_3}\,\frac{x_2}{x_3}+2a_{13}\,\frac{x_1}{x_3}+2a_{23}\,\frac{x_2}{x_3}+a_{33}=0

e infine si operano le sostituzioni

x=\frac{x_1}{x_3} \ \ \ ,\ \ \ y=\frac{x_2}{x_3} \ \ \ \mbox{con} \ x_3\ne 0

grazie alle quali ricaviamo

\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

Osservazione: il vincolo x_3\ne 0 impedisce all'ultima equazione di descrivere quelli che sono i punti impropri della conica.

Dopo il breve ripasso teorico, occupiamoci del problema partendo dalla prima equazione

\mathrm{C}_1:\ x_1^2+x_2^2+3x_1x_3-x_3^2=0

Dividiamo ciascun addendo per x_3^2\ne 0

\\ \mathrm{C}_1:\ \frac{x_1^2}{x_3^2}+\frac{x_2^2}{x_3^2}+3\frac{x_1x_3}{x_3^2}-\frac{x_3^2}{x_3^2}=0\\ \\ \\ \mathrm{C}_1:\ \left(\frac{x_1}{x_3}\right)^2+\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2+3\,\frac{x_1}{x_3}-1=0

dopodiché effettuiamo le sostituzioni grazie alle quali l'equazione diventa

\mathrm{C}_1:\ x^2+y^2+3x-1=0

Consideriamo la conica \mathrm{C}_2 di equazione

\mathrm{C}_2:\ x_1^2-x_2^2+3x_1x_2+x_1x_3-3x_3^2=0

Dividiamo gli addendi del primo membro per x_3^2\ne 0

\\ \mathrm{C}_2:\ \frac{x_1^2}{x_3^2}-\frac{x_2^2}{x_3^2}+3\,\frac{x_1x_2}{x_3^2}+\frac{x_1x_3}{x_3^2}-3\,\frac{x_3^2}{x_3^2}=0\\ \\ \\ \mathrm{C}_2:\ \left(\frac{x_1}{x_3}\right)^2-\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2+3\,\frac{x_1}{x_3}\,\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_1}{x_3}-3=0

Atteniamoci alle sostituzioni

x=\frac{x_1}{x_3}\ \ \ ,\ \ \ y=\frac{x_2}{x_3} \ \ \ \mbox{con} \ x_3\ne 0

e scriviamo l'equazione in coordinate non omogenee

\mathrm{C}_2:\ x^2-y^2+3x y+x-3=0

Consideriamo infine l'equazione

\mathrm{C}_3:\ x_1^2+x_1x_3+x_2x_3+x_3^2=0

Dividiamo ciascun addendo per x_3^2\ne 0

\mathrm{C}_3:\ \left(\frac{x_1}{x_3}\right)^2+\frac{x_1x_3}{x_3^2}+\frac{x_2x_3}{x_3^2}+\frac{x_3^2}{x_3^2}=0

semplifichiamo e usiamo le usuali sostituzioni

\mathrm{C}_3:\ x^2+x+y+1=0

È fatta!
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