Esercizio: coniche in coordinate non omogenee

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Esercizio: coniche in coordinate non omogenee #99001

avt
r3dsh3ll
Punto
Avrei bisogno di un chiarimento in merito a un esercizio sul passaggio dalle equazioni in coordinate non omogenee a quelle omogenee di alcune coniche. Qual è la strategia da seguire?

Fissato il sistema di riferimento ortogonale monometrico RC(O,x,y) nel piano, esprimere ciascuna delle seguenti equazioni di coniche in coordinate omogenee

\\ (a)\ \ \ \mathrm{C}_1:\ x^2+y^2+2x y-x+1=0\\ \\ (b) \ \ \ \mathrm{C}_2:\ y^2+2xy+1=0\\ \\ (c) \ \ \ \mathrm{C}_3:\ 3x^2+y^2-3xy-x-y+1=0

Grazie.
 
 

Esercizio: coniche in coordinate non omogenee #101313

avt
Ifrit
Amministratore
In generale una conica \mathrm{C} è descritta in coordinate non omogenee mediante un'equazione di secondo grado nelle incognite x\ \mbox{e}\ y del tipo

\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

dove i coefficienti a_{ij} sono numeri reali non tutti nulli.

A \mathrm{C} è possibile associare un'ulteriore relazione che la descrive e che prende il nome di equazione della conica in coordinate omogenee: per poterla ricavare basta effettuare le seguenti sostituzioni

x=\frac{x_1}{x_3} \ \ \ ,\ \ \ y=\frac{x_2}{x_3} \ \ \ \mbox{con} \ x_3\ne 0

nell'equazione non omogenea e svolgere i calcoli

\\ \mathrm{C}:\ a_{11}\left(\frac{x_1}{x_3}\right)^2+a_{22}\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2+2a_{12}\frac{x_1}{x_3}\,\frac{x_2}{x_3}+2a_{13}\frac{x_1}{x_3}+2a_{23}\frac{x_2}{x_3}+a_{33}=0 \\ \\ \\ a_{11}\,\frac{x_1^2}{x_3^2}+a_{22}\,\frac{x_2^2}{x_3^2}+2a_{12}\,\frac{x_1x_2}{x_3^2}+2a_{13}\,\frac{x_1}{x_3}+2a_{23}\,\frac{x_2}{x_3}+a_{33}=0

Portiamo a denominatore comune l'espressione al primo membro

\frac{a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^{2}+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2}{x_{3}^2}=0

dopodiché moltiplichiamo i due membri per x_3^2 così da ottenere l'equazione omogenea

\mathrm{C}:\ a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^{2}+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2=0

Facendo cadere il vincolo x_3\ne 0, l'equazione individua sia i punti propri che quelli impropri della conica.

Applichiamo questi passaggi a ciascuna delle seguenti equazioni

\\ \mathrm{C}_1:\ x^2+y^2+2x y-x+1=0\\ \\ \mathrm{C}_2:\ y^2+2xy+1=0\\ \\  \mathrm{C}_3:\ x^2+y^2-3xy-x-y+1=0

partendo dalla prima

\mathrm{C}_1:\ x^2+y^2+2xy-x+1=0

Operando le sostituzioni

x=\frac{x_1}{x_3} \ \ ,\ \ y=\frac{x_2}{x_3}\ \ \ \mbox{con} \ x_3\ne 0

otteniamo

\mathrm{C}_1:\ \left(\frac{x_1}{x_3}\right)^2+\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2+2\frac{x_1}{x_3}\,\frac{x_2}{x_3}-\frac{x_1}{x_3}+1=0

Usiamo le proprietà delle potenze

\mathrm{C}_1:\ \frac{x_1^2}{x_3^2}+\frac{x_2^2}{x_3^2}+2\frac{x_1 x_2}{x_3^2}-\frac{x_1}{x_3}+1=0

scriviamo a denominatore comune il primo membro

\mathrm{C}_1:\ \frac{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-x_1x_3+x_3^2}{x_3^2}=0

e infine moltiplichiamo i due membri per x_3^2

\mathrm{C}_1:\ x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-x_1x_3+x_3^2=0

Quella che abbiamo appena scritto è l'equazione di \mathrm{C}_1 in coordinate omogenee.

Occupiamoci di \mathrm{C}_2, che grazie alle sostituzioni proposte passa da

\mathrm{C}_2:\ y^2+2xy+1=0

alla seguente:

\\ \mathrm{C}_2:\ \left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2+2\,\frac{x_1}{x_3}\,\frac{x_2}{x_3}+1=0 \\ \\ \\ \mathrm{C}_2:\ \frac{x_2^2}{x_3^2}+2\,\frac{x_1x_2}{x_3^2}+1=0\\ \\ \\ \mathrm{C}_2:\ \frac{x_2^2+2x_1x_2+x_3^2}{x_3^2}=0

Moltiplicando i due membri per x_3^2 otteniamo infine

\mathrm{C}_2:\ x_2^2+2x_1x_2+x_3^2=0

Partiamo infine dall'equazione non omogenea di \mathrm{C}_3

\mathrm{C}_3:\ 3x^2+y^2-3xy-x-y+1=0

che grazie alle sostituzioni proposte si traduce nella seguente:

\\ \mathrm{C}_3:\ 3\,\left(\frac{x_1}{x_3}\right)^2+\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2-3\,\frac{x_1}{x_3}\,\frac{x_2}{x_3}-\frac{x_1}{x_3}-\frac{x_2}{x_3}+1=0 \\ \\ \\ \mathrm{C}_3:\ 3\,\frac{x_1^2}{x_3^2}+\frac{x_2^2}{x_3^2}-3\,\frac{x_1x_2}{x_3^2}-\frac{x_1}{x_3}-\frac{x_2}{x_3}+1=0

Portando a denominatore comune l'espressione al primo membro e moltiplicando in seguito a destra e a sinistra per x_3^2, ricaviamo l'equazione omogenea di \mathrm{C}_3

\mathrm{C}_3:\ 3x_1^2+x_2^2-3x_1x_2-x_1x_3-x_2x_3+x_3^2=0

È fatta!
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