Esercizio su matrice associata e cambiamento di base con applicazione lineare

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Esercizio su matrice associata e cambiamento di base con applicazione lineare #98739

avt
lonestudentx
Punto
In una prova intermedia di Algebra Lineare è stato assegnato un esercizio sulle applicazioni lineari con più richieste, una delle quali chiede di calcolare la matrice associata a un'applicazione lineare ricorrendo al formula del cambiamento di base. Purtroppo è un argomento che non ho proprio capito e quindi mi rivolgo a voi.

Si consideri l'applicazione lineare F:R^3 → R^3 data da

F(x,y,z) = (2x, y, 0)

1) Determinare la matrice associata a F rispetto alla base canonica di R^3.

2) Verificare che i vettori

v_1 = (1,0,1) ; v_2 = (0,1,-1) ; v_3 = (1,1,-1)

formano una base di R^3.

3) Usando la formula del cambiamento di base, determinare la matrice associata a F rispetto alla base mathcalB = v_1, v_2, v_3

4) Verificare che la matrice ottenuta al punto precedente è la stessa che si ottiene usando la definizione di matrice associata.
 
 

Esercizio su matrice associata e cambiamento di base con applicazione lineare #98750

avt
Omega
Amministratore
Sappiamo che F è un'applicazione lineare da R^3 in R^3, ossia è un endomorfismo, ed è definita per generica immagine

F(x,y,z) = (2x, y, 0)

I nostri obiettivi sono:

1) determinare la matrice associata a F rispetto alla base canonica di R^3.

2) Verificare che i vettori

v_1 = (1,0,1) ; v_2 = (0,1,-1) ; v_3 = (1,1,-1)

formano una base di R^3.

3) Determinare la matrice associata a F rispetto alla base mathcalB = v_1, v_2, v_3 ricorrendo alla formula del cambiamento di base.

4) Verificare che la matrice ottenuta al punto precedente è la stessa che si ottiene usando la definizione di matrice associata.


1) Matrice associata a F rispetto alla base canonica

La base canonica di R^3 è:

mathcalC = e_1, e_2, e_3 = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

La matrice A_F^(mathcalC) rappresentativa di F rispetto a mathcalC ha per colonne i vettori F(e_1), F(e_2), F(e_3), ossia le immagini mediante F dei vettori di mathcalC.

F(e_1) = F(1,0,0) = (2,0,0) ; F(e_2) = F(0,1,0) = (0,1,0) ; F(e_3) = F(0,0,1) = (0,0,0)

pertanto

A_F^(mathcalC) = [2 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 0]


2) Verifica base

Il punto successivo chiede di verificare che i vettori

v_1 = (1,0,1) ; v_2 = (0,1,-1) ; v_3 = (1,1,-1)

formano una base di R^3.

A tal proposito ricordiamo che, in generale, n vettori di uno spazio vettoriale di dimensione n ne formano una base se e solo se sono linearmente indipendenti tra loro.

La dimensione dello spazio vettoriale R^3 è pari a 3, dunque se l'insieme v_1, v_2, v_3 è indipendente, allora è una base di R^3.

Per studiarne l'indipendenza lineare disponiamo i vettori per righe in una matrice e calcoliamone il determinante: se è diverso da zero, v_1, v_2, v_3 è indipendente e quindi è una base.

det[1 0 1 ; 0 1 -1 ; 1 1 -1] = -1 ≠ 0

cosicché mathcalB = v_1, v_2, v_3 è una base di R^3.


3) Matrice rappresentativa di F rispetto a mathcalB con la formula del cambiamento di base

Secondo la formula del cambiamento di base per endomorfismi:

A_F^(mathcalB) = M_(mathcalC → mathcalB)·A_F^(mathcalC)·M_(mathcalB → mathcalC)

dove M_(mathcalC → mathcalB) è la matrice di cambiamento di base da mathcalC a mathcalB, M_(mathcalB → mathcalC) è la matrice di passaggio da mathcalB alla base canonica e · indica il prodotto tra matrici.

Per com'è definita la matrice di cambiamento di base abbiamo che:

- La matrice di passaggio da mathcalB a mathcalC ha per colonne i vettori di mathcalB

M_(mathcalB → mathcalC) = [1 0 1 ; 0 1 1 ; 1 -1 -1]

- La matrice che effettua il cambiamento opposto, ossia M_(mathcalC → mathcalB), è l'inversa di M_(mathcalB → mathcalC)

M_(mathcalC → mathcalB) = (M_(mathcalB → mathcalC))^(-1) = [1 0 1 ; 0 1 1 ; 1 -1 -1]^(-1) = [0 1 1 ;-1 2 1 ; 1 -1 -1]

di conseguenza

A_F^(mathcalB) = M_(mathcalC → mathcalB)·A_F^(mathcalC)·M_(mathcalB → mathcalC) = [0 1 1 ;-1 2 1 ; 1 -1 -1] [2 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 0] [1 0 1 ; 0 1 1 ; 1 -1 -1] = [0 1 1 ;-2 2 0 ; 2 -1 1]


4) Matrice rappresentativa di F rispetto a mathcalB con la definizione

La matrice A_F^(mathcalB) associata a F rispetto a mathcalB = v_1, v_2, v_3 è quella matrice le cui colonne sono i vettori delle coordinate rispetto alla base mathcalB dei vettori immagine F(v_1), F(v_2), F(v_3).

Per com'è definita F segue che:

F(v_1) = F(1,0,1) = (2,0,0) ; F(v_2) = F(0,1,-1) = (0,1,0) ; F(v_3) = F(1,1,-1) = (2,1,0)

Calcoliamo le coordinate rispetto a mathcalB dei vettori immagine.

Le componenti di F(v_1) = (2,0,0) riferite alla base mathcalB sono i coefficienti della combinazione lineare con cui si esprime (2,0,0) in funzione di v_1, v_2, v_3.

Imponiamo allora che sia

(2,0,0) = a v_1+b v_2+c v_3

Sostituiamo i vettori a secondo membro e svolgiamo le varie operazioni

(2,0,0) = a (1,0,1)+b (0,1,-1)+c (1,1,-1) ; (2,0,0) = (a+c, b+c, a-b-c)

La precedente uguaglianza si traduce nel sistema lineare

a+c = 2 ; b+c = 0 ; a-b-c = 0

La sua soluzione è

(a,b,c) = (0,-2,2)

dunque

(F(v_1))_(mathcalB) = (2,0,0)_(mathcalB) = (0,-2,2)

e questo vettore è la prima colonna di A_F^(mathcalB).

Procedendo allo stesso modo si ottiene che

(F(v_2))_(mathcalB) = (0,1,0)_(mathcalB) = (1,2,-1) ; (F(v_3))_(mathcalB) = (2,1,0)_(mathcalB) = (1,0,1)

di conseguenza

A_F^(mathcalB) = [0 1 1 ;-2 2 0 ; 2 -1 1]

ed è uguale alla matrice ottenuta con la formula del cambiamento di base.

È tutto!
Ringraziano: lonestudentx
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Os