Esercizio sul cambiamento di base per un'applicazione lineare definita da una matrice

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Esercizio sul cambiamento di base per un'applicazione lineare definita da una matrice #98124

avt
mie2mod
Punto
Ho difficoltà a svolgere un esercizio di una prova d'esame di Geometria I che, credo, andrebbe risolto con la formula del cambiamento di base per applicazioni lineari. Purtroppo entrano in ballo ben quattro basi diverse e quindi mi perdo tra apici e pedici. Vi prego di fornirmi una spiegazione che sia quanto più dettagliata possibile.

Siano mathcalB_2 la base di R^2 così definita

mathcalB_2 = (1,1), (1,0)

e mathcalC_3 la base canonica di R^3.

Si consideri l'applicazione lineare f:R^2 → R^3 definita, rispetto alle basi mathcalB_2, mathcalC_3, dalla matrice

A = [1 4 ; 3 1 ; 2 0]

Determinare la matrice associata a f rispetto alla base canonica mathcalC_2 di R^2 e rispetto alla seguente base di R^3

mathcalB_3 = (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)
 
 

Esercizio sul cambiamento di base per un'applicazione lineare definita da una matrice #98126

avt
Ifrit
Amministratore
Per quanto possa sembrare complicato, l'esercizio si svolge abbastanza agevolmente se si conosce bene la formula del cambiamento di base per applicazioni lineari, che riportiamo qui di seguito nella sua forma generale.

Consideriamo due spazi vettoriali V,W finitamente generati su un campo K e siano mathcalB_V, mathcalB'_(V) due basi di V e mathcalB_W, mathcalB'_(W) due basi di W.

Siano, poi, f: V → W un'applicazione lineare e A_f^(mathcalB_V, mathcalB_W) la matrice associata a f riferita alle basi mathcalB_V, mathcalB_W.

La matrice rappresentativa di f rispetto alle basi mathcalB'_V, mathcalB'_W si ottiene dal seguente prodotto tra matrici

A_f^(mathcalB'_V, mathcalB'_W) = M_(mathcalB_W → mathcalB'_W)·A_f^(mathcalB_V, mathcalB_W)·(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1)

in cui:

M_(mathcalB_W → mathcalB'_W) è la matrice di passaggio da mathcalB_W a mathcalB'_W;

(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1) è l'inversa della matrice di cambiamento di base da mathcalB_V a mathcalB'_V.

Tornando all'esercizio, vengono indicate con:

mathcalC_2 la base canonica di R^2

mathcalB_2 la base di R^2 definita da

mathcalB_2 = (1,1), (1,0)

mathcalC_3 la base canonica di R^3

mathcalB_3 la base di R^3 data da

mathcalB_3 = (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)

Inoltre, è noto che f:R^2 → R^3 è l'applicazione lineare definita dalla matrice

A = [1 4 ; 3 1 ; 2 0]

rispetto alle basi mathcalB_2, mathcalC_3. Questo vuol dire che A è la matrice associata a f rispetto a tali basi, ossia

A_f^(mathcalB_2, mathcalC_3) = A = [1 4 ; 3 1 ; 2 0]

Con tutte queste informazioni a disposizione, ci viene chiesto di calcolare la matrice A_f^(mathcalC_2, mathcalB_3) associata a f rispetto alle basi A_f^(mathcalC_2, mathcalB_3).

Riscriviamo, per comodità, la formula generale del cambiamento di base di un'applicazione f:V → W

A_f^(mathcalB'_V, mathcalB'_W) = M_(mathcalB_W → mathcalB'_W)·A_f^(mathcalB_V, mathcalB_W)·(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1)

e adattiamola al nostro esercizio. Sappiamo che

V = R^2 ; W = R^3

Le basi mathcalB_V, mathcalB'_V sono, rispettivamente, mathcalB_2 e mathcalC_2, mentre le basi mathcalB_W, mathcalB'_W sono, nell'ordine, mathcalC_3 e mathcalB_3.

Da ciò segue che

A_f^(mathcalC_2, mathcalB_3) = M_(mathcalC_3 → mathcalB_3)·A_f^(mathcalB_2, mathcalC_3)·(M_(mathcalB_2 → mathcalC_2))^(-1)

Calcoliamo le matrici a destra dell'uguale.

M_(mathcalC_3 → mathcalB_3) è la matrice di cambiamento di base dalla base canonica di R^3 alla base

mathcalB_3 = (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)

Dalla teoria sulle matrici di passaggio è noto che la matrice che effettua il passaggio inverso, ossia M_(mathcalB_3 → mathcalC_3), è quella matrice che ha come colonne i vettori di mathcalB_3 e che M_(mathcalC_3 → mathcalB_3) è la sua inversa, dunque

M_(mathcalC_3 → mathcalB_3) = (M_(mathcalB_3 → mathcalC_3))^(-1) = [1 1 1 ; 1 1 0 ; 1 0 0]^(-1) = [0 0 1 ; 0 1 -1 ; 1 -1 0]

La seconda matrice del prodotto, A_f^(mathcalB_2, mathcalC_3), ce la fornisce la traccia dell'esercizio e, infine, (M_(mathcalB_2 → mathcalC_2))^(-1) è l'inversa della matrice che ha come colonne i vettori di mathcalB_2

(M_(mathcalB_2 → mathcalC_2))^(-1) = [1 1 ; 1 0]^(-1) = [0 1 ; 1 -1]

Ci siamo quasi! Per concludere basta calcolare il prodotto tra tre matrici:

A_f^(mathcalC_2, mathcalB_3) = M_(mathcalC_3 → mathcalB_3)·A_f^(mathcalB_2, mathcalC_3)·(M_(mathcalB_2 → mathcalC_2))^(-1) = [0 0 1 ; 0 1 -1 ; 1 -1 0] [1 4 ; 3 1 ; 2 0] [0 1 ; 1 -1] = [0 2 ; 1 0 ; 3 -5]

È tutto!
Ringraziano: mie2mod
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Os