Polinomio minimo di una matrice idempotente

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Polinomio minimo di una matrice idempotente #96360

avt
dariodsn95
Punto
Vi chiedo aiuto per un esercizio relativo al polinomio minimo di una matrice idempotente, potreste spiegarmi come risolverlo?

Sia A una matrice n \times n idempotente diversa dalla matrice nulla e dalla matrice identità. Scrivere il polinomio minimo di A.

Grazie mille!
 
 

Polinomio minimo di una matrice idempotente #101263

avt
Galois
Amministratore
Ci viene chiesto di determinare il polinomio minimo di una matrice quadrata A di dimensione n, idempotente, e diversa sia dalla matrice nulla O_n che dalla matrice identità \mbox{Id}_n.

Per definizione, A è idempotente se e solo se il quadrato della matrice A coincide con A, ossia se e solo se A^2=A.

Portando A a primo membro otteniamo la relazione

A^2-A=O_n

e da ciò segue che A è una radice del polinomio

p(\lambda)=\lambda^2-\lambda = \lambda(\lambda-1)

Il polinomio minimo di A è, per definizione, il polinomio monico di grado più basso che ammette A come radice, ed è un fattore di p(\lambda), ossia è uno tra:

p_1(\lambda)=\lambda \ \ ; \ \ p_2(\lambda)=\lambda-1 \ \ ; \ \ p_3(\lambda)=\lambda(\lambda-1)

Se fosse p_1(\lambda) si avrebbe A=O_n, ma è escluso dalle ipotesi;

Se fosse p_2(\lambda) si avrebbe A=\mbox{Id}_n, ma è escluso dalle ipotesi.

In definitiva, il polinomio minimo di A è \lambda(\lambda-1) e non c'è altro da dire!
  • Pagina:
  • 1
Os