Dimostrare che due matrici non sono simili e hanno lo stesso polinomio minimo

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Dimostrare che due matrici non sono simili e hanno lo stesso polinomio minimo #96343

avt
JonSnow99
Punto
Date due matrici mi viene chiesto di dimostrare che non sono simili e che hanno lo stesso polinomio minimo. Non so proprio come muovermi, quindi è gradito qualsiasi suggerimento.

Si considerino le matrici

A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}

Dimostrare che A e B non sono simili tra loro ma che hanno lo stesso polinomio minimo.
 
 

Dimostrare che due matrici non sono simili e hanno lo stesso polinomio minimo #101262

avt
Galois
Amministratore
Richiamiamo, molto brevemente, le nozioni teoriche che utilizzeremo per risolvere l'esercizio.

Due matrici dello stesso ordine sono matrici simili se e solo se, a meno dell'ordine dei blocchi, hanno la stessa forma canonica di Jordan.

Se A è una qualsiasi matrice jordanizzabile in \mathbb{R}, il polinomio minimo di A è della forma

m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\cdots (\lambda-\lambda_r)^{k_r}

dove \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_r sono gli autovalori distinti di A e, per ogni i \in \{1,2,...,r\}, l'esponente k_i è pari al massimo ordine dei blocchi di Jordan relativi a \lambda_i.

Veniamo ora all'esercizio che chiede di verificare che le seguenti matrici

A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}

non sono simili, ma hanno lo stesso polinomio minimo. Per effettuare entrambe le verifiche in un colpo solo è sufficiente calcolarne le forme canoniche di Jordan.


Forma canonica di Jordan di A

A è una matrice triangolare superiore, dunque i suoi autovalori sono gli elementi della diagonale principale, ossia:

\lambda_1=3 con molteplicità algebrica e geometrica uguali a 1;

\lambda_2=1 con molteplicità algebrica 2.

Calcoliamo la molteplicità geometrica di \lambda_2, data dalla differenza tra l'ordine di A, che è 3, e il rango della matrice (A-\lambda_2 \mbox{Id}_3)

\\ m_g(\lambda_2) = 3-\mbox{rk}(A-\lambda_2 \mbox{Id}_3) = 3-\mbox{rk}(A-\mbox{Id}_3) = \\ \\ = 3-\mbox{rk}\left[\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ = 3-\mbox{rk}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = 3-1=2

La forma canonica di Jordan di A ha, allora, un blocco di Jordan di ordine 1 associato a \lambda_1=3 e due blocchi di Jordan relativi all'autovalore \lambda_2=1, ciascuno di ordine 1, ossia:

J_A=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

L'ordine massimo dei blocchi di Jordan relativi ai due autovalori è 1, cosicché il polinomio minimo di A è

m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^1(\lambda-\lambda_2)^1 = (\lambda-3)(\lambda-1)


Forma canonica di Jordan di B

Anche B è una matrice triangolare superiore, quindi i suoi autovalori sono:

\lambda_1=1 con molteplicità algebrica e geometrica pari a 1;

\lambda_2=3 con molteplicità algebrica 2.

Calcoliamo la molteplicità geometrica di \lambda_2=3:

\\ m_g(\lambda_2) = 3-\mbox{rk}(B-\lambda_2 \mbox{Id}_3) = 3-\mbox{rk}(B-3\mbox{Id}_3) = \\ \\ = 3-\mbox{rk}\left[\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ = 3-\mbox{rk}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = 3-1=2

La forma canonica di Jordan di B è, allora:

J_B=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}

e il suo polinomio minimo è

m_B(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^1(\lambda-\lambda_2)^1 = (\lambda-1)(\lambda-3)

Evidentemente J_A \neq J_B, dunque A e B non sono simili, ma hanno lo stesso polinomio minimo.

Fine!
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Os