Polinomio minimo di una matrice parametrica

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Polinomio minimo di una matrice parametrica #96317

avt
Paolo-99
Punto
In una prova d'esame di Algebra Lineare degli anni precedenti è stato assegnato un esercizio sul calcolo del polinomio minimo di una matrice parametrica. Ho svolto davvero tanti esercizi su questo argomento, ma non mi era mai capitata una matrice parametrica. Avreste qualche suggerimento da darmi?

Determinare, al variare dei parametro h \in \mathbb{R}, il polinomio minimo della matrice

A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ h & 1 & 0 \\ 5 & h-2 & 1\end{pmatrix}
 
 

Polinomio minimo di una matrice parametrica #101261

avt
Galois
Amministratore
Per determinare, al variare di h \in \mathbb{R}, il polinomio minimo della matrice parametrica

A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ h & 1 & 0 \\ 5 & h-2 & 1\end{pmatrix}

come prima cosa calcoliamone il polinomio caratteristico p_A(\lambda) e gli autovalori.

A è una matrice triangolare inferiore, per cui i suoi autovalori sono:

\lambda_1=1 con molteplicità algebrica 2;

\lambda_2=2 con molteplicità algebrica 1.

Senza fare altri calcoli, possiamo ricavare il polinomio caratteristico:

p_A(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)

Il polinomio minimo di A è, per definizione, un divisore del polinomio caratteristico e ha come zeri tutti gli autovalori di A, per cui è uno tra i seguenti:

\\ m_1(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2) \\ \\ m_2(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)

Ricordiamo ora che, in generale, A è una matrice diagonalizzabile in \mathbb{R} se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici in \mathbb{R} con molteplicità 1.

Alla luce di ciò, per i valori di h per cui A è una matrice diagonalizzabile, ossia per i valori di h per cui la molteplicità geometrica di \lambda_1 è uguale a 2, il polinomio minimo di A è

m_1(\lambda) = (\lambda-1)(\lambda-2)

Di contro, per i valori di h per cui A non è diagonalizzabile, ossia per i valori di h per cui la molteplicità geometrica di \lambda_1 è pari a 1, il polinomio minimo è

m_2(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)

Calcoliamo, allora, la molteplicità geometrica di \lambda_1=1, data dalla differenza tra l'ordine di A e il rango della matrice (A-\lambda_1 \mbox{Id}_3):

\\ m_g(1)=3-\mbox{rk}(A-1\mbox{Id}_3) = \\ \\ =3 -\mbox{rk}\left[\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ h & 1 & 0 \\ 5 & h-2 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = 3- \mbox{rk}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 \\ 5 & h-2 & 0\end{pmatrix}

Il rango è 2 se h \neq 2, mentre è 1 se h=2, per cui

m_g(1)=\begin{cases}3-2=1 \ \mbox{ se } \ h \neq 2 \\ 3-1=2 \ \mbox{ se } \ h=2\end{cases}

Per concludere:

- se h \neq 2 il polinomio minimo di A è m_2(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2);

- se h = 2 il polinomio minimo di A è m_1(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2).
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