Forma canonica di Jordan e polinomio minimo dal polinomio caratteristico

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Forma canonica di Jordan e polinomio minimo dal polinomio caratteristico #96263

avt
Simyxy
Punto
Mi viene assegnato il polinomio caratteristico di una matrice e, da esso, devo calcolare tutte le possibili forme canoniche di Jordan, i rispettivi polinomi minimi e le dimensioni di due autospazi. Ci sto ragionando da un sacco di tempo, ma non sto proprio riuscendo a venirne a capo.

Scrivere tutte le possibili forme canoniche di Jordan di una matrice A cui polinomio caratteristico è

p_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda+3)^2

e, in ogni caso, evidenziare il polinomio minimo e la dimensione degli autospazi V(1) e V(-3).
 
 

Forma canonica di Jordan e polinomio minimo dal polinomio caratteristico #101260

avt
Galois
Amministratore
Prima di risolvere l'esercizio è bene fare qualche richiamo teorico sul polinomio caratteristico, sul polinomio minimo e sul loro legame con la forma canonica di Jordan di una matrice.

Sia A è una matrice quadrata di ordine n e siano \lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_r gli autovalori distinti di A.

Il polinomio caratteristico p_A(\lambda) di A è un polinomio di grado n della forma

p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{t_1}(\lambda-\lambda_2)^{t_2} \cdots (\lambda-\lambda_r)^{t_r}

dove t_1, t_2, ..., t_r sono le molteplicità algebriche degli autovalori \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_r, che indichiamo con m_a(\lambda_i).

Per quanto riguarda la forma canonica di Jordan di A, è utile sapere che:

- la molteplicità algebrica di un autovalore \lambda_i è pari alla somma degli ordini di tutti i blocchi di Jordan relativi a \lambda_i;

- la molteplicità geometrica di \lambda_i che, per definizione, è uguale alla dimensione dell'autospazio V(\lambda_i), rappresenta il numero di blocchi di Jordan associati a \lambda_i.

Infine, il polinomio minimo m_A(\lambda) di A assume la forma

m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2} \cdots (\lambda-\lambda_r)^{k_r}

dove 1 \le k_i \le t_i per ogni i\in \{1,2,...,r\}.

Più nello specifico l'esponente k_i rappresenta il massimo ordine dei blocchi di Jordan relativi all'autovalore \lambda_i.

Passiamo, ora, all'esercizio, che chiede di scrivere tutte le possibili forme canoniche di Jordan di una matrice A il cui polinomio caratteristico è

p_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda+3)^2

e di evidenziare, in ogni caso, il polinomio minimo e la dimensione degli autospazi V(1) e V(-3).

Per quanto detto in precedenza, gli autovalori di A sono:

\lambda_1=1 con molteplicità algebrica 3;

\lambda_2=-3 con molteplicità algebrica 2.

La molteplicità geometrica di un autovalore, che rappresentiamo con m_g(\lambda_i), è compresa tra 1 e la relativa molteplicità geometrica, cosicché

\\ m_g(\lambda_1)=m_g(1) \in \{1,2,3\} \\ \\ m_g(\lambda_2)=m_g(-3) \in \{1,2\}

Si hanno, allora, le seguenti possibilità:

1) Se m_g(1)=m_g(-3)=1, gli autospazi V(1) e V(-3) hanno dimensione 1, e c'è un unico blocco di Jordan relativo a ciascun autovalore.

In particolare, essendo m_a(1)=3 e m_a(-3)=2 c'è un blocco di Jordan di ordine 3 relativo a \lambda_1=1 e un blocco di Jordan di ordine 2 associato a \lambda_2=-3.

Ne segue così che:

- il polinomio minimo di A coincide con quello caratteristico

m_{A}(\lambda)=p_{A}(\lambda)=-(\lambda-1)^3(\lambda+3)^2

- la forma canonica di Jordan di A è

J_A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3\end{pmatrix}


2) Se m_g(1)=1 e m_g(-3)=2, la dimensione dell'autospazio V(1) è 1, mentre la dimensione di V(-3) è 2.

Vi sono:

- un unico blocco di Jordan relativo a \lambda_1=1 di dimensione 3;

- due blocchi di Jordan relativi a \lambda_2=-3, e ciascuno di essi avrà dimensione 1.

Il polinomio minimo di A è, allora:

m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda+3)

e la forma canonica di Jordan è

J_A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3\end{pmatrix}


3) Se m_g(1)=2 e m_g(-3)=1, la dimensione dell'autospazio V(1) è 2, mentre la dimensione di V(-3) è 1.

Vi sono:

- due blocchi di Jordan relativi a \lambda_1=1 di cui uno di dimensione 2 e l'altro di dimensione 1;

- un unico blocco di Jordan associato a \lambda_2=-3 di dimensione 2.

Il polinomio minimo è:

m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+3)^2

e la forma canonica di Jordan è

J_A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3\end{pmatrix}


4) Se m_g(1)=2 e m_g(-3)=2, le dimensioni degli autospazi V(1) e V(-3) sono pari a 2.

Vi sono:

- due blocchi di Jordan relativi a \lambda_1=1 di cui uno di dimensione 2 e l'altro di dimensione 1;

- due blocchi di Jordan associati a \lambda_2=-3, entrambi di dimensione 1.

Il polinomio minimo è:

m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+3)

e la forma canonica di Jordan è

J_A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3\end{pmatrix}


5) Se m_g(1)=3 e m_g(-3)=1, V(1) ha dimensione 3 e V(-3) ha dimensione 1.

Vi sono:

- tre blocchi di Jordan relativi a \lambda_1=1, ciascuno di dimensione 1;

- un blocco di Jordan associato a \lambda_2=-3 di dimensione 2.

Il polinomio minimo è:

m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+3)^2

e la forma canonica di Jordan è

J_A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3\end{pmatrix}


6) Se m_g(1)=3 e m_g(-3)=2, V(1) ha dimensione 3 e V(-3) ha dimensione 2.

Vi sono:

- tre blocchi di Jordan relativi a \lambda_1=1, ciascuno di dimensione 1;

- due blocchi di Jordan associati a \lambda_2=-3, ognuno di dimensione 1.

Il polinomio minimo è:

m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+3)

e la forma canonica di Jordan è

J_A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3\end{pmatrix}

Non vi sono altre possibilità, dunque abbiamo finito!
  • Pagina:
  • 1
Os