Scrivere una matrice conoscendone il polinomio minimo e quello caratteristico

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Scrivere una matrice conoscendone il polinomio minimo e quello caratteristico #95854

avt
FrancescoMengoli
Punto
Mi sono imbattuto in un esercizio di Algebra Lineare sul polinomio minimo che mi sta dando un sacco di grattacapi. Devo scrivere una matrice di cui conosco il polinomio caratteristico e il polinomio minimo, ma non so come risolverlo. Potreste spiegarmi come si risolve?

Scrivere una matrice A che abbia come polinomio caratteristico

p_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda+2)

e come polinomio minimo

m_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+2)

A è diagonalizzabile?
 
 

Scrivere una matrice conoscendone il polinomio minimo e quello caratteristico #101259

avt
Galois
Amministratore
Ci viene chiesto di scrivere una matrice A che abbia come polinomio caratteristico

p_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda+2)

e come polinomio minimo

m_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+2)

Il grado del polinomio caratteristico, che è 4, uguaglia l'ordine della matrice, per cui A è una matrice quadrata di ordine 4.

Inoltre, gli zeri di p_A(\lambda) sono gli autovalori di A, pertanto A ha come autovalori

\lambda_1=1 con molteplicità algebrica 3;

\lambda_1=-2 con molteplicità algebrica 1.

Analizziamo ora il polinomio minimo

m_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+2)

Esso si presenta nella forma

m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)

I suoi zeri sono gli autovalori di A e hanno molteplicità uguale a 1, e da ciò possiamo dedurre che A è una matrice diagonalizzabile in \mathbb{R}.

Per concludere l'esercizio basta ricordare che una matrice diagonale è, ovviamente, una matrice diagonalizzabile e che gli elementi della diagonale principale sono i suoi autovalori.

In definitiva, una matrice che soddisfa le richieste dell'esercizio è

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2\end{pmatrix}

Abbiamo finito!
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