Polinomio minimo e diagonalizzabilità

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Polinomio minimo e diagonalizzabilità #95740

avt
davide 111
Punto
Che legame c'è tra diagonalizzabilità e polinomio minimo di una matrice? Un esercizio assegna i polinomi minimi associati a quattro matrici distinte e chiede di stabilire quali sono diagonalizzabili. Cosa dovrei fare?

I polinomi:

\\ m_A(\lambda)=\lambda^2-6\lambda+9 \\ \\ m_B(\lambda)=\lambda^3-3\lambda^2+2\lambda \\ \\ m_C(\lambda)=\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1 \\ \\ m_D(\lambda)=\lambda^2+1

sono i polinomi minimi associati, rispettivamente, alle matrici A, B, C, D.

Stabilire quali, tra esse, sono diagonalizzabili in \mathbb{R}.
Ringraziano: FrancescoMengoli, soliori
 
 

Polinomio minimo e diagonalizzabilità #101258

avt
Galois
Amministratore
Per risolvere l'esercizio basta ricordare che A è una matrice diagonalizzabile in \mathbb{R} se e solo se il polinomio minimo di A ha tutte le radici reali e con molteplicità 1.

Ciò vuol dire che il polinomio minimo di una matrice diagonalizzabile in \mathbb{R} è della forma

m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2) \cdots (\lambda-\lambda_r)

dove \lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_r \in \mathbb{R} sono gli autovalori distinti di A.

Passiamo ora all'esercizio, che assegna i seguenti polinomi minimi associati a quattro matrici A,B,C,D

\\ m_A(\lambda)=\lambda^2-6\lambda+9 \\ \\ m_B(\lambda)=\lambda^3-3\lambda^2+2\lambda \\ \\ m_C(\lambda)=\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1 \\ \\ m_D(\lambda)=\lambda^2+1

e chiede di stabilire quali, tra esse, sono diagonalizzabili.

Scomponiamo i quattro polinomi.

\bullet \ m_A(\lambda)=\lambda^2-6\lambda+9=

è lo sviluppo di un quadrato di binomio

=(\lambda-3)^2

per cui A non è diagonalizzabile.

\bullet \ m_B(\lambda)=\lambda^3-3\lambda^2+2\lambda=

effettuiamo un raccoglimento totale

=\lambda(\lambda^2-3\lambda+2)=

il trinomio di secondo grado è un trinomio notevole con somma e prodotto

=\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)

dunque B è diagonalizzabile in \mathbb{R}.

\bullet \ m_C(\lambda)=\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1=

procediamo con un raccoglimento parziale

\\ = \lambda^2(\lambda-1)-(\lambda-1) = \\ \\ = (\lambda-1)(\lambda^2-1)=

scomponiamo la differenza di quadrati

\\ =(\lambda-1)(\lambda-1)(\lambda+1) = \\ \\ =(\lambda-1)^2(\lambda+1)

cosicché C non è diagonalizzabile.

\bullet \ m_D(\lambda)=\lambda^2+1

non ha radici reali, e quindi non è diagonalizzabile in \mathbb{R}.

In definitiva, l'unica matrice diagonalizzabile in \mathbb{R} è B, e non abbiamo altro da aggiungere.
  • Pagina:
  • 1
Os