Calcolo del polinomio minimo dalla matrice dei cofattori

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Calcolo del polinomio minimo dalla matrice dei cofattori #95582

avt
Nico9
Punto
Oggi il nostro professore ha spiegato un nuovo metodo di calcolo del polinomio minimo come rapporto tra il polinomio caratteristico e il massimo comun divisore dei termini di una matrice dei cofattori, ma sinceramente non l'ho capito. Potreste spiegarmelo e applicarlo per risolvere l'esercizio che sto per proporvi?

Calcolare il polinomio minimo della matrice

A=\begin{pmatrix}2 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & 3\end{pmatrix}

come rapporto tra il polinomio caratteristico e il massimo comun divisore dei termini della matrice dei cofattori associata a A-\lambda \mbox{Id}_3.
 
 

Calcolo del polinomio minimo dalla matrice dei cofattori #101257

avt
Galois
Amministratore
Il polinomio minimo di una matrice A può essere calcolato come rapporto tra il polinomio caratteristico di A e il massimo comun divisore dei polinomi della matrice dei cofattori associata a (A-\lambda \mbox{Id}_n), dove \lambda è una variabile e \mbox{Id}_n è la matrice identità dello stesso ordine di A.

La matrice dei cofattori di (A-\lambda \mbox{Id}_n) si ottiene sostituendo ogni elemento di (A-\lambda \mbox{Id}_n) col relativo cofattore.

Se ancora non fosse chiaro, detti p_A(\lambda) il polinomio caratteristico di A, m_A(\lambda) il polinomio minimo e q(\lambda) il massimo comun divisore della matrice dei cofattori di (A-\lambda \mbox{Id}_n), si ha che

m_A(\lambda)=\frac{p_A(\lambda)}{q(\lambda)}

Mettiamo in pratica quanto detto per calcolare il polinomio minimo di

A=\begin{pmatrix}2 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & 3\end{pmatrix}


Polinomio caratteristico di A

p_A(\lambda) è dato dal determinante della matrice (A-\lambda \mbox{Id}_3), per cui:

\\ p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3) = \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix}2 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & 3\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ =\mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 6 & 0 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 1 & 4 & 3-\lambda\end{pmatrix}=

Calcoliamo il determinante con Laplace rispetto alla terza colonna

=(-1)^{3+3} \cdot (3-\lambda) \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 6 \\ 0 & 3-\lambda\end{pmatrix}=

sviluppiamo il determinante della matrice di ordine due

\\ =(3-\lambda) \cdot [(2-\lambda)(3-\lambda)-0] = \\ \\ = (3-\lambda)^2(2-\lambda)


Matrice dei cofattori

Nel calcolo del polinomio caratteristico abbiamo visto che

A-\lambda \mbox{Id}_3 = \begin{pmatrix}2-\lambda & 6 & 0 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 1 & 4 & 3-\lambda\end{pmatrix}

Per comodità, indichiamo tale matrice con B, e calcoliamo i cofattori dei suoi elementi che, in generale, sono dati da

\mbox{Cof}(b_{ij})=(-1)^{i+j} \cdot \mbox{det}(B_{ij})

dove B_{ij} è la sottomatrice che si ottiene da B eliminandone la i-esima riga e la j-esima colonna.

Ciò premesso:

\\ \mbox{Cof}(b_{11})=(-1)^{1+1} \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}3-\lambda & 0 \\ 4 & 3-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)^2 \\ \\ \\ \mbox{Cof}(b_{12})=(-1)^{1+2} \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 3-\lambda\end{pmatrix}=0 \\ \\ \\ \mbox{Cof}(b_{13})=(-1)^{1+3} \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}0 & 3-\lambda \\ 1 & 4\end{pmatrix}=-(3-\lambda)

La prima riga è andata. Passiamo alla seconda

\\ \mbox{Cof}(b_{21})=(-1)^{2+1} \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}6 & 0 \\ 4 & 3-\lambda\end{pmatrix}=-6(3-\lambda) \\ \\ \\ \mbox{Cof}(b_{22})=(-1)^{2+2} \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 \\ 1 & 3-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(3-\lambda) \\ \\ \\ \mbox{Cof}(b_{23})=(-1)^{2+3} \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 6 \\ 1 & 4\end{pmatrix}=-(2-\lambda)

Infine, gli elementi della terza riga sono

\\ \mbox{Cof}(b_{31})=(-1)^{3+1} \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}6 & 0 \\ 3-\lambda & 0\end{pmatrix}=0 \\ \\ \\ \mbox{Cof}(b_{32})=(-1)^{3+2} \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}=0 \\ \\ \\ \mbox{Cof}(b_{33})=(-1)^{3+3} \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 6 \\ 0 & 3-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(3-\lambda)

In definitiva la matrice dei cofattori è

\\ \mbox{Cof}(A-\lambda \mbox{Id}_3) = \mbox{Cof}(B) = \\ \\ = \begin{pmatrix}\mbox{Cof}(b_{11}) && \mbox{Cof}(b_{12}) && \mbox{Cof}(b_{13}) \\ \\ \mbox{Cof}(b_{21}) && \mbox{Cof}(b_{22}) && \mbox{Cof}(b_{23}) \\ \\ \mbox{Cof}(b_{31}) && \mbox{Cof}(b_{32}) && \mbox{Cof}(b_{33})\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}(3-\lambda)^2 && 0 && -(3-\lambda) \\ \\ -6(3-\lambda) && (2-\lambda)(3-\lambda) && -(2-\lambda) \\ \\ 0 && 0 && (2-\lambda)(3-\lambda)\end{pmatrix}

Evidentemente, il massimo comun divisore tra i polinomi di questa matrice è q(\lambda)=1, infatti tra i suoi elementi non nulli non vi è alcun fattore che compare in tutti i polinomi.

In conclusione

m_A(\lambda)=\frac{p_A(\lambda)}{q(\lambda)}=(3-\lambda)^2(2-\lambda)

e abbiamo finito!
  • Pagina:
  • 1
Os