Forma canonica di Jordan e polinomio minimo di una matrice

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Forma canonica di Jordan e polinomio minimo di una matrice #95425

avt
Nox
Punto
Potreste mostrarmi come si risolve un esercizio sul calcolo della forma canonica di Jordan e del polinomio minimo di una matrice di ordine cinque? In pratica, data una matrice 5x5 devo ridurla in forma di Jordan e, da essa, devo dedurne il polinomio minimo.

Si consideri la seguente matrice di ordine cinque

A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}

Calcolarne la forma canonica di Jordan e, da essa, risalire al polinomio minimo associato ad A.
Ringraziano: Pi Greco
 
 

Forma canonica di Jordan e polinomio minimo di una matrice #101256

avt
Galois
Amministratore
Assegnata la seguente matrice quadrata di ordine cinque

A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}

dobbiamo determinare la forma canonica di Jordan J_A e, da essa, calcolare il polinomio minimo di A.


Forma canonica di Jordan di A

Per calcolare la forma canonica di Jordan di una matrice, la prima cosa da fare è trovarne gli autovalori con le rispettive molteplicità algebriche e geometriche.

Gli autovalori di A sono gli zeri del suo polinomio caratteristico, dato dal determinante della matrice (A-\lambda \mbox{Id}_5), dove \mbox{Id}_5 è la matrice identità dello stesso ordine di A.

\\ p_A(\lambda) = \mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_5) = \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=

Calcoliamo il determinante con lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna, in quanto ha un solo elemento diverso da zero

=(1-\lambda) \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=

continuiamo a usare Laplace, questa volta riferito alla prima riga

=(1-\lambda) (2-\lambda) \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=

sempre per Laplace rispetto alla prima riga

=(1-\lambda) (2-\lambda)^2 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=

calcoliamo il determinante della matrice di ordine due

\\ =(1-\lambda) (2-\lambda)^2 (1-\lambda)^2= \\ \\ = (1-\lambda)^3 (2-\lambda)^2

In buona sostanza:

p_A(\lambda)=(1-\lambda)^3 (2-\lambda)^2

e gli autovalori di A sono:

\lambda_1=1 con molteplicità algebrica 3;

\lambda_2=2 con molteplicità algebrica 2.

Calcoliamone le molteplicità geometriche. In caso di dubbi ricordiamo che la molteplicità geometrica di un autovalore \lambda_0 di una matrice di ordine n è data dalla differenza tra n e il rango della matrice (A-\lambda_0 \mbox{Id}_n), ossia

m_g(\lambda_0)=n - \mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_n)

Ne segue allora che:

\\ m_g(\lambda_1)=5 - \mbox{rk}(A-1 \mbox{Id}_5) = \\ \\ = 5 - \mbox{rk}\left[\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = 5 - \mbox{rk}\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}=

il rango di questa matrice è pari a 3, infatti ha due colonne nulle e il minore che si ottiene eliminandone la prima e la quarta colonna e le ultime due righe è diverso da zero

=5-3=2

Procediamo ora al calcolo di m_g(\lambda_2):

\\ m_g(\lambda_2)=5 - \mbox{rk}(A- 2 \mbox{Id}_5) = \\ \\ = 5 - \mbox{rk}\left[\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = 5 - \mbox{rk}\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1\end{pmatrix}=

il rango è 4, tant'è vero una riga è nulla e il minore che si estrae dall'eliminazione della prima colonna e della seconda riga è diverso da zero

=5-4=1

Facciamo un piccolo riepilogo utile per determinare J_A. Gli autovalori di A sono:

\lambda_1=1 con molteplicità algebrica 3 e molteplicità geometrica 2;

\lambda_2=2 con molteplicità algebrica 2 e molteplicità geometrica 1.

Ricordiamo ora che la molteplicità geometrica di un autovalore \lambda_0 indica il numero di blocchi di Jordan a esso relativi, mentre la molteplicità algebrica di \lambda_0 è la somma degli ordini di tutti i blocchi associati a \lambda_0.

Da ciò segue che:

- a \lambda_1=1 sono associati due blocchi di Jordan, di cui uno di ordine 1 e l'altro di ordine 2;

- a \lambda_2=2 è associato un unico blocco di Jordan di ordine 2.

In definitiva:

J_A=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}


Polinomio minimo di A

Il polinomio minimo di una matrice jordanizzabile A è

m(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2} \cdots (\lambda-\lambda_r)^{k_r}

dove \lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_r sono gli autovalori distinti di A e ogni esponente k_i è il massimo ordine dei blocchi di Jordan relativi a \lambda_i.

La matrice in esame ha due autovalori distinti

\lambda_1 = 1 \ \ \ ; \ \ \ \lambda_2=2

e abbiamo già visto che l'ordine massimo dei blocchi di Jordan associati sia a \lambda_1 che a \lambda_2 è pari a 2, per cui il polinomio minimo di A è:

m_A(\lambda)=(\lambda-1)^2 (\lambda-2)^2

Fine!
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Os