Calcolare il polinomio minimo dal polinomio caratteristico

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Calcolare il polinomio minimo dal polinomio caratteristico #95380

avt
Raidern
Cerchio
Studiando la parte teorica sul polinomio minimo ho capito che è un divisore del polinomio caratteristico di una matrice ma, all'atto pratico, come si calcola?

Dopo averne trovato il polinomio caratteristico, calcolare il polinomio minimo della matrice

A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix}
 
 

Calcolare il polinomio minimo dal polinomio caratteristico #101255

avt
Galois
Amministratore
Per calcolare il polinomio minimo di una matrice esistono vari metodi. Uno tra questi prevede di ricercarlo tra alcuni possibili divisori del polinomio caratteristico.

Più nello specifico, detto p_A(\lambda) il polinomio caratteristico di una matrice A, per calcolarne il polinomio minimo m_A(\lambda) procediamo come segue:

- scriviamo i divisori di p_A(\lambda) che si annullano su tutti gli autovalori di A;

- sostituiamo la matrice A in ogni polinomio divisore, partendo da quelli di grado più basso.

Non appena si trova un polinomio che ammette A come radice possiamo affermarci e affermare che è il polinomio minimo di A.

Dopo questo breve ripasso teorico determiniamo, con il metodo esposto, il polinomio minimo della matrice

A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix}

Come prima cosa calcoliamone il polinomio caratteristico

\\ p_A(\lambda) = \mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_5) = \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 2-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4-\lambda & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 5-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4-\lambda\end{pmatrix}=

Calcoliamo il determinante con uno sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga, in quanto ha un solo elemento non nullo

=(2-\lambda) \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4-\lambda & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 5-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4-\lambda\end{pmatrix}=

continuiamo ad applicare Laplace, sempre rispetto alla prima riga

=(2-\lambda)^2 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}4-\lambda & 3 & 0 \\ 2 & 5-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 4-\lambda\end{pmatrix}=

ancora per Laplace, ma questa volta riferito alla terza riga

=(2-\lambda)^2 (4-\lambda)\cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}4-\lambda & 3 \\ 2 & 5-\lambda\end{pmatrix}=

sviluppiamo il determinante della matrice di ordine due

\\ =(2-\lambda)^2 (4-\lambda)[(4-\lambda)(5-\lambda)-6] = \\ \\ = (2-\lambda)^2 (4-\lambda)(\lambda^2-9\lambda+14)=

scomponiamo l'ultimo trinomio con la regola del trinomio notevole con somma e prodotto o risolvendo l'equazione di secondo grado associata

\\ =(2-\lambda)^2 (4-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-7) = \\ \\ = -(\lambda-2)^3(\lambda-4)(\lambda-7)

In breve

p_A(\lambda)=-(\lambda-2)^3(\lambda-4)(\lambda-7)

Scriviamone tutti i divisori che hanno gli autovalori di A come radice:

\\ p_1(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda-7) \\ \\ p_2(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-4)(\lambda-7) \\ \\ p_3(\lambda)=(\lambda-2)^3(\lambda-4)(\lambda-7)

Sostituiamo la matrice A in questi polinomi, a partire da quello di grado più basso.

\\ p_1(A)=(A-2\mbox{Id}_4)(A-4\mbox{Id}_4)(A-7\mbox{Id}_4) = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & -5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}=

svolgendo i prodotti riga per colonna

=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 50 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

La matrice che ne risulta è diversa dalla matrice nulla, per cui p_1(\lambda) non è il polinomio minimo.

Proseguiamo la ricerca e sostituiamo A in p_2(\lambda):

\\ p_2(A)=(A-2\mbox{Id}_4)^2(A-4\mbox{Id}_4)(A-7\mbox{Id}_4) = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}^2 \begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & -5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}=

Calcoliamo la matrice potenza

=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & -5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}=

svolgiamo i prodotti tra matrici

=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=O_5

In definitiva, il polinomio minimo di A è

p_2(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-4)(\lambda-7)

e con questo è tutto!
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Os