Distanza tra due piani per un punto con vettore normale

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Distanza tra due piani per un punto con vettore normale #935

Nello Cerchio	Ho bisogno di voi per risolvere un esercizio sulla distanza tra piani. Il testo non fornisce alcuna equazione, ma solo alcune condizioni cui i piani devono sottostare. Qual è la strategia migliore da seguire? Sia il piano passante per e normale al vettore , e sia il piano parallelo a e passante per l'origine. Scrivere le equazioni cartesiane dei due piani e calcolare la loro distanza. Grazie.

Distanza tra due piani per un punto con vettore normale #941

Omega

Amministratore

Il nostro obiettivo consiste nel calcolare la distanza tra due piani, di cui non conosciamo alcuna rappresentazione: il problema infatti fornisce diverse informazioni, con le quali saremo in grado di scrivere le equazioni.

Del piano

conosciamo il punto di passaggio

e il vettore che individua la direzione normale al piano

Per esplicitare una relazione che descriva

, scriviamo l'equazione della stella di piani passante per

dopodiché sostituiamo

con le componenti del vettore normale al piano

Svolgendo infine i semplici calcoli, perveniamo all'equazione

sappiamo che è un piano parallelo a

e che passa per l'origine

.

Scriviamo la stella di piani passanti per l'origine

π_2: a'(x-x_(O))+b'(y-y_(O))+c'(z-z_(O)) = 0 ; π_2: a'x+b'y+c'z = 0

e sostituiamo al posto dei coefficienti direttori

quelli di

: così facendo è certamente soddisfatta la condizione di parallelismo.

Note le equazioni, possiamo determinare la distanza tra i piani. Per farlo è sufficiente considerare

e calcolare

, usando la formula della distanza punto-piano:

d(π_1,π_2) = d(O,π_1) = (|ax_(O)+by_(O)+cz_(O)+d|)/(√(a^2+b^2+c^2)) = (|-2·0+0+0+1|)/(√((-2)^2+1^2+1^2)) = (1)/(√(6))

È fatta!

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