Distanza tra due piani per un punto con vettore normale

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Distanza tra due piani per un punto con vettore normale #935

avt
Nello
Cerchio
Ho bisogno di voi per risolvere un esercizio sulla distanza tra piani. Il testo non fornisce alcuna equazione, ma solo alcune condizioni cui i piani devono sottostare. Qual è la strategia migliore da seguire?

Sia \pi_1 il piano passante per A(1,1,0) e normale al vettore \mathbf{v}=(-2,1,1), e sia \pi_2 il piano parallelo a \pi_1 e passante per l'origine.

Scrivere le equazioni cartesiane dei due piani e calcolare la loro distanza.

Grazie.
 
 

Distanza tra due piani per un punto con vettore normale #941

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare la distanza tra due piani, di cui non conosciamo alcuna rappresentazione: il problema infatti fornisce diverse informazioni, con le quali saremo in grado di scrivere le equazioni.

Del piano \pi_1 conosciamo il punto di passaggio

A(x_{A},y_{A},z_{A})=(1,1,0)

e il vettore che individua la direzione normale al piano

\mathbf{n}_{\pi_1}=\mathbf{v}=(-2,1,1)

Per esplicitare una relazione che descriva \pi_1, scriviamo l'equazione della stella di piani passante per A

\\ \pi_1:\ a(x-x_{A})+b(y-y_{A})+c(z-z_{A})=0\\ \\ \pi_1:\ a(x-1)+b(y-1)+cz=0

dopodiché sostituiamo a,b\ \mbox{e} \ c con le componenti del vettore normale al piano

\pi_1:\ -2(x-1)+(y-1)+z=0

Svolgendo infine i semplici calcoli, perveniamo all'equazione

\pi_1:\ -2x+y+z+1=0

Di \pi_2 sappiamo che è un piano parallelo a \pi_1 e che passa per l'origine O(x_O,y_O,z_O)=(0,0,0).

Scriviamo la stella di piani passanti per l'origine

\\ \pi_2:\ a'(x-x_{O})+b'(y-y_{O})+c'(z-z_{O})=0\\ \\ \pi_2:\ a'x+b'y+c'z=0

e sostituiamo al posto dei coefficienti direttori a',b',c' quelli di \pi_1: così facendo è certamente soddisfatta la condizione di parallelismo.

\pi_2: \ -2x+y+z=0

Note le equazioni, possiamo determinare la distanza tra i piani. Per farlo è sufficiente considerare O\in\pi_2 e calcolare d(O,\pi_1), usando la formula della distanza punto-piano:

\\ d(\pi_1,\pi_2)=d(O,\pi_1)=\frac{|ax_{O}+by_{O}+cz_{O}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}= \\ \\ \\ =\frac{|-2\cdot 0+0+0+1|}{\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}

È fatta!
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Os