Quesiti su sistemi di generatori e lineare indipendenza tra vettori

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Quesiti su sistemi di generatori e lineare indipendenza tra vettori #88026

avt
FAQ
Frattale
Nel capitolo delle mie dispense dedicato ai concetti di lineare indipendenza, sistema di generatori e base di uno spazio vettoriale, prima del paragrafo sulle basi ho incontrato una serie di quesiti di verifica su sistema di generatori e vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Purtroppo ho le idee molto confuse e non so cosa rispondere. Potete aiutarmi?

Si risponda alle seguenti domande giustificando le risposte e fornendo un esempio.

1) Un insieme di generatori è linearmente dipendente?

2) Un insieme di generatori è linearmente indipendente?

3) Un insieme di vettori linearmente indipendente è un sistema di generatori?
Ringraziano: Galois, asiabianchi
 
 

Quesiti su sistemi di generatori e lineare indipendenza tra vettori #90091

avt
Galois
Amministratore
Prima di rispondere ai quesiti proposti ricordiamo le nozioni teoriche a cui faremo riferimento.

Sia V uno spazio vettoriale definito su un campo \mathbb{K} e siano \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n vettori di V.

Si dice che \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n sono vettori linearmente indipendenti se, presi gli scalari a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{K}, e imponendo

a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}

l'unica n-upla di scalari che annulla la combinazione lineare è quella nulla

(a_1,a_2,...,a_n)=(0,0,...,0).

Mentre, l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è un sistema di generatori di V se ogni elemento di V si può esprimere come loro combinazione lineare, ossia se per ogni \mathbf{w} \in V esistono a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{K} tali che

\mathbf{w}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n.

Avendo ben chiare queste definizioni rispondiamo alle domande assegnate.


1) Un insieme di generatori è linearmente dipendente?

Non è detto, cioè un insieme di generatori può essere linearmente dipendente o linearmente indipendente.

A titolo di esempio consideriamo lo spazio vettoriale \mathbb{R}^2 e i suoi vettori

\mathbf{v}_1=(1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,1)

L'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} è un sistema di generatori di \mathbb{R}^2, infatti ogni \mathbf{w}=(a,b) \in \mathbb{R}^2 si può esprimere come combinazione lineare di \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2

\mathbf{w}=a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2

e, al tempo stesso, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 sono linearmente indipendenti tra loro. Per stabilirlo si può usare la definizione o, molto più velocemente, osservare che la matrice che ha per righe i due vettori

A=\begin{pmatrix}\mathbf{v}_1 \\ \mathbf{v}_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1\end{pmatrix}

ha rango uguale a 2.


2) Un insieme di generatori è linearmente indipendente?

Come già osservato, un insieme di generatori può essere linearmente indipendente o linearmente dipendente.

Ad esempio, i vettori

\mathbf{v}_1=(1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,1)

formano un sistema di generatori di \mathbb{R}^2, tant'è vero che ogni \mathbf{w}=(a,b) \in \mathbb{R}^2 si può scrivere come

\mathbf{w}=a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+0\mathbf{v}_3

Tuttavia \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 sono linearmente dipendenti tra loro, infatti \mathbf{v}_3 è uguale alla somma tra \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2.


3) Un insieme di vettori linearmente indipendente è un sistema di generatori?

Un insieme di vettori linearmente indipendenti non è detto che sia un sistema di generatori. Per convincersene torniamo a considerare \mathbb{R}^2 e osserviamo che un qualsiasi insieme formato da un solo vettore non nullo è linearmente indipendente ma non può generare \mathbb{R}^2.


Per concludere, uno spazio vettoriale può essere generato da un insieme di vettori linearmente dipendenti o linearmente indipendenti. In quest'ultimo caso il sistema di generatori è una base dello spazio vettoriale che genera, e avrai modo di scoprirlo proseguendo con lo studio degli spazi vettoriali.
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