Sistema di generatori per lo spazio di polinomi di grado 2

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Sistema di generatori per lo spazio di polinomi di grado 2 #8427

avt
Slevin93
Punto
Cosa si deve fare per stabilire se un insieme di polinomi è un sistema di generatori? Finora ho sempre lavorato con vettori classici; è la prima volta che incontro un esercizio con i polinomi e non so proprio cosa fare.

Stabilire, giustificando la risposta, se i polinomi

\\ p_1(x)=1-4x \\ \\ p_2(x)=-3+13x+x^2 \\ \\ p_3(x)=1-2x-x^2

costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}_2[x].
 
 

Sistema di generatori per lo spazio di polinomi di grado 2 #8431

avt
Omega
Amministratore
I polinomi

\\ p_1(x)=1-4x \\ \\ p_2(x)=-3+13x+x^2 \\ \\ p_3(x)=1-2x-x^2

formano un sistema di generatori di \mathbb{R}_2[x] se e solo se, per definizione, ogni elemento dello spazio vettoriale \mathbb{R}^2[x] si può scrivere come combinazione lineare di p_1(x), p_2(x), p_3(x).

In altri termini, l'insieme \{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} genera \mathbb{R}_2[x] se per ogni

q(x)=a_0+a_1x+a_2x^2 \in \mathbb{R}^2[x]

esistono \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R} tali che

\lambda_1p_1(x)+\lambda_2p_2(x)+\lambda_3p_3(x)=q(x)

ossia

\lambda_1(1-4x)+\lambda_2(-3+13x+x^2)+\lambda_3(1-2x-x^2) = a_0+a_1x+a_2x^2

Svolgiamo le operazioni tra polinomi a primo membro

\lambda_1-4\lambda_1x-3\lambda_2+13\lambda_2x+\lambda_2x^2+\lambda_3-2\lambda_3x-\lambda_3x^2=a_0+a_1x+a_2x^2

e scriviamo il polinomio a sinistra dell'uguale in forma normale

\lambda_1-3\lambda_2+\lambda_3+(-4\lambda_1+13\lambda_2-2\lambda_3)x+(\lambda_2-\lambda_3)x^2=a_0+a_1x+a_2x^2

Per il principio di identità di polinomi, due polinomi con lo stesso grado sono uguali se coincidono i coefficienti dei termini con lo stesso grado, per cui dev'essere

\begin{cases}\lambda_1-3\lambda_2+\lambda_3=a_0 \\ -4\lambda_1+13\lambda_2-2\lambda_3=a_1 \\ \lambda_2-\lambda_3=a_2\end{cases}

Se il sistema ammette soluzione per ogni a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R} allora p_1(x),p_2(x),p_3(x) formano un sistema di generatori di \mathbb{R}^2[x].

Per il teorema di Rouché Capelli, un sistema lineare è compatibile se il rango della matrice completa è uguale a quello della matrice incompleta.

Le matrici rappresentative del sistema sono

A=\begin{pmatrix}1&-3&1 \\ -4 & 13 & -2 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{matrix}1&-3&1 \\ -4 & 13 & -2 \\ 0 & 1 & -1\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2\end{matrix}\right)

Calcoliamone i ranghi con il metodo di eliminazione di Gauss. Riduciamo (A|\mathbf{b}) in una matrici a gradini sostituendone la seconda riga con la somma tra il quadruplo della prima e la seconda

\\ R_2 \ \to \ 4R_1+R_2 = \\ \\ = \begin{pmatrix}4 & -12 & 4 & | & 4a_0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4 & 13 & -2 & | & a_1\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & | & 4a_0+a_1\end{pmatrix}

Otteniamo così la matrice

(A|\mathbf{b})'=\left(\begin{matrix}1&-3&1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}a_0 \\ 4a_0+a_1 \\ a_2\end{matrix}\right)

Ultimiamo la riduzione a scala rimpiazzando la terza riga con la somma tra l'opposta della seconda e la terza

\\ R_3 \ \to \ -R_2+R_3 = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & -1 & -2 & | & -4a_0-a_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 1 & -1 & | & a_2\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 0 & -3 & | & -4a_0-a_1+a_2\end{pmatrix}

In definitiva

(A|\mathbf{b})''=\left(\begin{matrix}1&-3&1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -3\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}a_0 \\ 4a_0+a_1 \\ -4a_0-a_1+a_2\end{matrix}\right)

è una matrice a gradini associata a (A|\mathbf{b}) e, tralasciandone l'ultima colonna, abbiamo anche una riduzione a scala di A:

A''=\begin{pmatrix}1&-3&1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -3\end{pmatrix}

Il rango di A è uguale al numero di pivot di A'', che sono

a_{11}''=1 \ \ ; \ \ a_{22}''=1 \ \ ; \ \ a_{33}''=-3

per cui

\mbox{rk}(A)=3.

Osserviamo ora che A è una sottomatrice 3x3 di (A|\mathbf{b}) di rango massimo, quindi anche il rango della matrice completa è 3.

Alla luce di ciò possiamo affermare che il sistema ammette soluzione per ogni a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}, cosicché \{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} è un sistema di generatori di \mathbb{R}_2[x].

Fine!
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