Versore opposto a un vettore di cui sono noti gli estremi

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Versore opposto a un vettore di cui sono noti gli estremi #8190

avt
ely
Cerchio
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio che chiede di determinare le componenti di un versore che sia opposto a un vettore di cui sono noti gli estremi.

I punti A(0,2,3,4) e B(2,-1,5,3) definiscono il vettore \overrightarrow{AB}. Calcolare le componenti di un versore opposto ad \overrightarrow{AB}.
 
 

Versore opposto a un vettore di cui sono noti gli estremi #8205

avt
Omega
Amministratore
Dato un vettore \vec{v} possiamo sempre associargli un versore, che indichiamo con vers(\vec{v}) e che è definito come il rapporto tra \vec{v} e il suo modulo.

vers(\vec{v})=\frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}

Evidentemente vers(\vec{v}) ha la stessa direzione e lo stesso verso di \vec{v}, dunque un versore opposto a \vec{v} è

-vers(\vec{v})=\frac{-\vec{v}}{||\vec{v}||}

Ciò premesso, risolvere l'esercizio è un gioco da ragazzi, infatti dai punti A(0,2,3,4) e B(2,-1,5,3) possiamo calcolare le componenti del vettore \vec{v}=\overrightarrow{AB} come differenza tra le coordinate cartesiane di B e quelle di A

\\ \vec{v}=\overrightarrow{AB} = B-A = (2,-1,5,3) - (0,2,3,4) = \\ \\ = (2-0, \ -1-2, \ 5-3, \ 3-4) = (2,-3,2,-1)

Calcoliamo poi la norma, data dalla radice della somma dei quadrati delle componenti

\\ ||\vec{v}||=\sqrt{2^2+(-3)^2+2^2+(-1)^2} = \\ \\ = \sqrt{4+9+4+1} = \sqrt{18}=3\sqrt{2}

Abbiamo ora tutto quello che ci serve per calcolare le componenti di un versore opposto a \vec{v}.

\\ -vers(\vec{v})=\frac{-\vec{v}}{||\vec{v}||} = \frac{-(2,-3,2,-1)}{3 \sqrt{2}} = \\ \\ \\ = \left(-\frac{2}{3\sqrt{2}}, \ \frac{3}{3\sqrt{2}}, \ -\frac{2}{3\sqrt{2}}, \ \frac{1}{3\sqrt{2}}\right) = \\ \\ \\ = \left(-\frac{2}{3\sqrt{2}}, \ \frac{1}{\sqrt{2}}, \ -\frac{2}{3\sqrt{2}}, \ \frac{1}{3\sqrt{2}}\right)

Ecco fatto!
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Os