Diagonalizzazione di una matrice a elementi reali con autovalori complessi

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#806
avt
namis
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per diagonalizzare una matrice reale con due autovalori complessi. È la prima volta che incontro una matrice con due autovalori in campo complesso e mi blocco sul calcolo degli autovettori, quindi non riesco a ultimare la diagonalizzazione.

Sia data la seguente matrice quadrata di ordine tre a elementi reali:

A = [0 -1 0 ; 1 0 0 ; 0 0 3]

Dopo aver verificato che A è diagonalizzabile, determinare una matrice diagonalizzante P e una matrice diagonale D simile ad A.
#812
avt
Ifrit
Amministratore
Per studiare la diagonalizzabilità della matrice

A = [0 -1 0 ; 1 0 0 ; 0 0 3]

la prima cosa da fare è calcolarne gli autovalori, dati dagli zeri del polinomio caratteristico p_A(λ).

p_(A)(λ) = det(A-λ Id_3) = det[[0 -1 0 ; 1 0 0 ; 0 0 3]-λ [1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1]] = det[-λ -1 0 ; 1 -λ 0 ; 0 0 3-λ] =

Per il calcolo del determinante procediamo con uno sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga, perché ha due elementi nulli

= (-1)^(3+3)·(3-λ)·det[-λ -1 ; 1 -λ] = (3-λ)(λ^2+1)

Gli zeri del polinomio caratteristico, nonché gli autovalori di A, sono

λ_1 = 3 ; λ_2 = imath ; λ_3 = - imath

tutti con molteplicità algebrica e geometrica pari a 1.

Una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata di ordine n sia diagonalizzabile in un campo K è che ammetta, in K, n autovalori distinti.

Poiché A è una matrice di ordine tre con tre autovalori complessi distinti, possiamo affermare che A è diagonalizzabile in C.

La matrice diagonale D simile ad A ha sulla diagonale principale gli autovalori di A, per cui

D = [λ_1 0 0 ; 0 λ_2 0 ; 0 0 λ_3] = [3 0 0 ; 0 imath 0 ; 0 0 - imath]

La matrice diagonalizzante P è, invece, quella matrice che ha come colonne i vettori che formano le basi degli autospazi relativi agli autovalori λ_1, λ_2, λ_3.


Base dell'autospazio associato a λ_1 = 3

La molteplicità geometrica di λ_1 = 3 è pari a 1, dunque l'autospazio associato a λ_1 ha dimensione 1, ossia una sua base è formata da un solo vettore.

Per calcolarla è sufficiente determinare una base per lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

(A-λ_1 Id_3)x = 0

dove x∈ R^3 è un vettore colonna di incognite e 0∈ R^3 è il vettore colonna nullo.

Effettuiamo le varie sostituzioni

[[0 -1 0 ; 1 0 0 ; 0 0 3]-3 [1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1]][x ; y ; z] = [0 ; 0 ; 0]

Svolgiamo le operazioni tra matrici nella coppia di parentesi quadre

[-3 -1 0 ; 1 -3 0 ; 0 0 0][x ; y ; z] = [0 ; 0 ; 0]

Calcoliamo il prodotto riga per colonna

[-3x-y ; x-3y ; 0] = [0 ; 0 ; 0]

Due matrici sono uguali quando coincidono i termini che occupano la stessa posizione, dunque la forma esplicita del sistema è

-3x-y = 0 ; x-3y = 0

Per trovarne le soluzioni assegniamo all'incognita z, che è l'unica che non compare esplicitamente, il ruolo di parametro libero

z = a con a∈ R

e risolviamo il sistema

-3x-y = 0 ; x-3y = 0 ; z = a

da cui si ottiene

x = 0 ; y = 0 ; z = a

Il sistema è allora soddisfatto da tutte le terne della forma

(x,y,z) = (0,0,a) con a ∈ R

Scriviamola sotto forma di combinazione lineare e ci siamo!

(0,0,a) = a(0,0,1)

cosicché una base dell'autospazio associato a λ_1 è

mathcalB_1 = (0,0,1)


Base dell'autospazio associato a λ_2 = imath

Una base dell'autospazio riferito a λ_2 = imath è una base per lo spazio delle soluzioni del sistema

(A-λ_2 Id_3)x = 0

ossia

[[0 -1 0 ; 1 0 0 ; 0 0 3]- imath [1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1]][x ; y ; z] = [0 ; 0 ; 0]

Dopo aver svolto le varie operazioni ricadiamo nell'uguaglianza matriciale

[- imath x-y ; x- imath y ; (3- imath)z] = [0 ; 0 ; 0]

che corrisponde al sistema

- imath x-y = 0 ; x- imath y = 0 ; (3- imath)z = 0

La matrice dei coefficienti a esso associata è

[- imath -1 0 ; 1 - imath 0 ; 0 0 3- imath]

e, come c'era da aspettarsi, ha rango 2, dunque il sistema ammette ∞^1 soluzioni. Per calcolarle assegniamo a x il ruolo di parametro libero

x = a con a ∈ R

e risolviamo il sistema

x = a ;- imath x-y = 0 ; (3- imath)z = 0

Dall'ultima equazione otteniamo z = 0. Sostituiamo, poi, x = a nella seconda equazione

x = a ;- imath a-y = 0 ; z = 0 → x = a ; y = - imath a ; z = 0

Le ∞^1 soluzioni del sistema sono

(x,y,z) = (a,- imath a , 0) = a(1,- imath,0) con a∈ R.

Una base dello spazio delle soluzioni, nonché una base dell'autospazio riferito a λ_2, è

mathcalB_2 = (1,- imath,0)


Base dell'autospazio associato a λ_3 = - imath

Procedendo allo stesso identico modo, ossia determinando una base per lo spazio delle soluzioni del sistema

(A-λ_2 Id_3)x = 0 → imath x+y = 0 ; x+ imath y = 0 ; (3+ imath)z = 0

si ottiene che una base dell'autospazio riferito a λ_3 è

mathcalB_3 = (1, imath,0)


Costruzione della matrice diagonalizzante

Una matrice diagonalizzante di A è quella matrice che ha come colonne i vettori di mathcalB_1, mathcalB_2, mathcalB_3, ossia

P = [0 1 1 ; 0 - imath imath ; 1 0 0 ]

Per controllare la correttezza dei risultati ottenuti si può calcolare l'inversa di P

P^(-1) = [0 0 1 ; (1)/(2) (imath)/(2) 0 ; (1)/(2) -(imath)/(2) 0]

e verificare che il prodotto tra matrici P^(-1) A P restituisce la matrice D.

È tutto!
Ringraziano: CarFaby
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