Diagonalizzazione di una matrice a elementi reali con autovalori complessi
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#806
![]() namis Punto | Mi servirebbe il vostro aiuto per diagonalizzare una matrice reale con due autovalori complessi. È la prima volta che incontro una matrice con due autovalori in campo complesso e mi blocco sul calcolo degli autovettori, quindi non riesco a ultimare la diagonalizzazione. Sia data la seguente matrice quadrata di ordine tre a elementi reali: ![]() Dopo aver verificato che |
#812
![]() Ifrit Amministratore | Per studiare la diagonalizzabilità della matrice ![]() la prima cosa da fare è calcolarne gli autovalori, dati dagli zeri del polinomio caratteristico ![]() Per il calcolo del determinante procediamo con uno sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga, perché ha due elementi nulli ![]() Gli zeri del polinomio caratteristico, nonché gli autovalori di ![]() tutti con molteplicità algebrica e geometrica pari a 1. Una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata di ordine Poiché La matrice diagonale ![]() La matrice diagonalizzante Base dell'autospazio associato a La molteplicità geometrica di Per calcolarla è sufficiente determinare una base per lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo dove Effettuiamo le varie sostituzioni ![]() Svolgiamo le operazioni tra matrici nella coppia di parentesi quadre ![]() Calcoliamo il prodotto riga per colonna ![]() Due matrici sono uguali quando coincidono i termini che occupano la stessa posizione, dunque la forma esplicita del sistema è ![]() Per trovarne le soluzioni assegniamo all'incognita e risolviamo il sistema ![]() da cui si ottiene ![]() Il sistema è allora soddisfatto da tutte le terne della forma ![]() Scriviamola sotto forma di combinazione lineare e ci siamo! cosicché una base dell'autospazio associato a Base dell'autospazio associato a Una base dell'autospazio riferito a ossia ![]() Dopo aver svolto le varie operazioni ricadiamo nell'uguaglianza matriciale ![]() che corrisponde al sistema ![]() La matrice dei coefficienti a esso associata è ![]() e, come c'era da aspettarsi, ha rango 2, dunque il sistema ammette e risolviamo il sistema ![]() Dall'ultima equazione otteniamo ![]() Le ![]() Una base dello spazio delle soluzioni, nonché una base dell'autospazio riferito a Base dell'autospazio associato a Procedendo allo stesso identico modo, ossia determinando una base per lo spazio delle soluzioni del sistema ![]() si ottiene che una base dell'autospazio riferito a Costruzione della matrice diagonalizzante Una matrice diagonalizzante di ![]() Per controllare la correttezza dei risultati ottenuti si può calcolare l'inversa di ![]() e verificare che il prodotto tra matrici È tutto! |
Ringraziano: CarFaby |
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