Retta nello spazio con parametro e ortogonalità con un piano

Non sono in grado di risolvere un esercizio con parametro in cui devo trovare i piano perpendicolari a una retta e che formano angoli di 45 gradi con il piano coordinato . Nonostante mi sia attenuto alla teoria, i risultati che ottengo non coincidono con quelli del libro.

Fissato il numero reale , si consideri la retta di equazioni parametriche



Trovare, se esistono, i valori del parametro in modo che il piano , perpendicolare alla retta e passante per , formi un angolo di con il piano coordinato .

Grazie.

Il nostro obiettivo consiste nel determinare i valori del parametro affinché il piano perpendicolare alla retta descritta da:



passante per formi un angolo di con il piano coordinato .

Iniziamo scrivendo l'equazione cartesiana della stella di piani passanti per



dove e associandole la tripla dei parametri direttori della stella



Dalle equazioni parametriche della retta deduciamo un vettore che individua la sua direzione:



È sostanzialmente il vettore che moltiplica il parametro .

Affinché siano tra loro perpendicolari, dobbiamo richiedere che la direzione perpendicolare al piano sia parallela alla direzione della retta: dal punto di vista vettoriale, questa condizione si traduce nell'uguaglianza vettoriale:



ossia



con

Sostituendo nell'equazione della stella di piani, ricaviamo la relazione che descrive al variare di tutti i piani passanti per e ortogonali a .



Se inoltre dividiamo i due membri , l'uguaglianza si semplifica in:



Per terminare l'esercizio dobbiamo sfruttare la condizione secondo cui e il piano coordinato formano un angolo di : chiaramente dovremo fare affidamento alla formula per gli angoli tra piani.

Ricordiamo che per definizione gli angoli convessi tra due piani, di vettori normali , sono le soluzioni riferite all'intervallo delle seguenti equazioni goniometriche



in cui è il prodotto scalare canonico tra i vettori normali ai piani, mentre sono rispettivamente la norma euclidea di e quella di .

Ricordando che l'equazione cartesiana del piano è , un vettore normale al piano coordinato è , per cui le equazioni con cui calcolare gli angoli sono:



Affinché l'angolo tra i piani sia e poiché , dobbiamo riscrivere l'uguaglianza come segue:



da cui



Spezziamo l'uguaglianza nelle due equazioni irrazionali dell'incognita



e calcoliamone le soluzioni scoprendo che i valori che deve assumere sono:



Ad associamo la retta



e il piano di equazione



Ad associamo invece la retta



e il piano di equazione



Abbiamo finito.