Retta nello spazio con parametro e ortogonalità con un piano

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Retta nello spazio con parametro e ortogonalità con un piano #78079

avt
sarush
Punto
Non sono in grado di risolvere un esercizio con parametro in cui devo trovare i piano perpendicolari a una retta e che formano angoli di 45 gradi con il piano coordinato Oxy. Nonostante mi sia attenuto alla teoria, i risultati che ottengo non coincidono con quelli del libro.

Fissato il numero reale h, si consideri la retta r_(h) di equazioni parametriche

r_(h): (x,y,z) = (0,1,1)+t(1,-1,-h) con t∈R

Trovare, se esistono, i valori del parametro h in modo che il piano π, perpendicolare alla retta e passante per P(1,1,2), formi un angolo di 45° con il piano coordinato Oxy.

Grazie.
 
 

Retta nello spazio con parametro e ortogonalità con un piano #101193

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel determinare i valori del parametro h affinché il piano perpendicolare alla retta descritta da:

r_(h): (x,y,z) = (0,1,1)+t(1,-1,-h) con h,t∈R

passante per P(1,1,2) formi un angolo di 45° con il piano coordinato Oxy.

Iniziamo scrivendo l'equazione cartesiana della stella di piani passanti per P

 π: a(x-x_(P))+b(y-y_(P))+c(z-z_(P)) = 0 ; a(x-1)+b(y-1)+c(z-2) = 0

dove (a,b,c)∈R^(3)-(0,0,0) e associandole la tripla dei parametri direttori della stella

n_(π) = (a,b,c)

Dalle equazioni parametriche della retta deduciamo un vettore che individua la sua direzione:

v_(r_(h)) = (l,m,n) = (1,-1,-h) con h∈R

È sostanzialmente il vettore che moltiplica il parametro t.

Affinché π e r_(h) siano tra loro perpendicolari, dobbiamo richiedere che la direzione perpendicolare al piano sia parallela alla direzione della retta: dal punto di vista vettoriale, questa condizione si traduce nell'uguaglianza vettoriale:

n_(π) = α v_(r_(h)) con α ne 0

ossia

(a,b,c) = α(1,-1,-h) → (a,b,c) = (α,-α,-α h)

con α ne 0

Sostituendo a = α, , b = -α, , c = -α h nell'equazione della stella di piani, ricaviamo la relazione che descrive al variare di h tutti i piani passanti per P e ortogonali a r_(h).

π: α(x-1)-α(y-1)-α h(z-2) = 0

Se inoltre dividiamo i due membri α ne 0, l'uguaglianza si semplifica in:

π: x-y-hz+2h = 0

Per terminare l'esercizio dobbiamo sfruttare la condizione secondo cui π e il piano coordinato Oxy formano un angolo di 45°: chiaramente dovremo fare affidamento alla formula per gli angoli tra piani.

Ricordiamo che per definizione gli angoli convessi θ_1,θ_2 tra due piani, di vettori normali n_(1) e n_2, sono le soluzioni riferite all'intervallo [0°,180°] delle seguenti equazioni goniometriche

cos(θ) = ±(n_(1)·n_(2))/(||n_(1)|| ||n_2||)

in cui n_1·n_2 è il prodotto scalare canonico tra i vettori normali ai piani, mentre ||n_(1)|| e ||n_(2)|| sono rispettivamente la norma euclidea di n_(1) e quella di n_2.

Ricordando che l'equazione cartesiana del piano Oxy è z = 0, un vettore normale al piano coordinato è n_(Oxy) = (0,0,1), per cui le equazioni con cui calcolare gli angoli sono:

cos(θ) = ±(n_(π)·n_(Oxy))/(||n_(π)|| ||n_(Oxy)||)

Affinché l'angolo tra i piani sia θ = 45° e poiché cos(45°) = (√(2))/(2), dobbiamo riscrivere l'uguaglianza come segue:

(√(2))/(2) = ±((1,-1,-h)·(0,0,1))/(√(1^2+(-1)^2+(-h)^2)√(0^2+0^2+1^2))

da cui

±(-h)/(√(2+h^2)) = (√(2))/(2)

Spezziamo l'uguaglianza nelle due equazioni irrazionali dell'incognita h

-(h)/(√(2+h^2)) = (√(2))/(2) ∨ (h)/(√(2+h^2)) = (√(2))/(2)

e calcoliamone le soluzioni scoprendo che i valori che h deve assumere sono:

h = -√(2) ∨ h = √(2)

Ad h = -√(2) associamo la retta

r_(-√(2)): (x,y,z) = (0,1,1)+t(1,-1,√(2)) con t∈R

e il piano π di equazione

π: x-y+√(2)z-2√(2) = 0

Ad h = √(2) associamo invece la retta

r_(√(2)): (x,y,z) = (0,1,1)+t(1,-1,-√(2)) con t∈R

e il piano di equazione

π: x-y-√(2)z+2√(2) = 0

Abbiamo finito.
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Os