Piano con parametro perpendicolare a una retta

Avrei bisogno di un aiuto per risolvere un esercizio con parametro sul piano perpendicolare a una retta nello spazio. Dovrei determinare i valori del parametro affinché l'equazione individui un piano perpendicolare alla retta data in forma parametrica. Confido nel vostro aiuto.

Sia la retta di equazioni parametriche



Determinare gli eventuali valori di affinché la relazione



sia l'equazione di un piano ortogonale alla retta.

Grazie.

Per individuare i valori del parametro affinché la relazione



individui un piano perpendicolare alla retta definita da



abbiamo necessariamente bisogno di due elementi:

- un qualsiasi vettore parallelo alla retta cui attribuiremo il ruolo di vettore direttore ;

- un qualsiasi vettore perpendicolare al piano che indicheremo con .

Dall'equazione cartesiana del piano possiamo dedurre immediatamente un vettore normale: è sufficiente considerare il vettore dei parametri direttori



mentre dalle equazioni parametriche della retta siamo in grado di scrivere un vettore parallelo ad essa:



Chiaramente questi vettori da soli non bastano! Abbiamo bisogno anche della cosiddetta condizione di perpendicolarità retta-piano, che possiamo formulare come segue: dato un piano con vettore normale e una retta con vettore direttore , allora sono perpendicolari se e solo se è un multiplo non nullo di , ossia se si presenta nella forma



Riscriviamo quest'uguaglianza con i vettori in nostro possesso



e costruiamo il sistema lineare nell'incognita (e con parametro )



Data la facilità del sistema, usiamo il metodo di sostituzione: dalla prima equazione sappiamo che , e sostituendo nelle rimanenti, ci riconduciamo al sistema



che dopo qualche passaggio algebrico diventa:



da cui

Se sostituiamo nell'equazione di e con qualche semplice calcolo, otteniamo quella che è a tutti gli effetti l'equazione del piano perpendicolare alla retta



È fatta!