Piano con parametro perpendicolare a una retta

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Piano con parametro perpendicolare a una retta #78041

avt
davide.rattacaso
Punto
Avrei bisogno di un aiuto per risolvere un esercizio con parametro sul piano perpendicolare a una retta nello spazio. Dovrei determinare i valori del parametro affinché l'equazione individui un piano perpendicolare alla retta data in forma parametrica. Confido nel vostro aiuto.

Sia r la retta di equazioni parametriche

r: x = 1+t ; y = 1-3t ; z = -2t con t∈R

Determinare gli eventuali valori di h∈R affinché la relazione

π_(h): hx+(h-4)y+(h-3)z-1 = 0

sia l'equazione di un piano ortogonale alla retta.

Grazie.
 
 

Piano con parametro perpendicolare a una retta #101192

avt
Ifrit
Amministratore
Per individuare i valori del parametro h∈R affinché la relazione

π_(h): hx+(h-4)y+(h-3)z-1 = 0

individui un piano perpendicolare alla retta r definita da

r: x = 1+t ; y = 1-3t ;-2t con t∈R

abbiamo necessariamente bisogno di due elementi:

- un qualsiasi vettore parallelo alla retta r cui attribuiremo il ruolo di vettore direttore v_(r);

- un qualsiasi vettore perpendicolare al piano π_(h) che indicheremo con n_(π).

Dall'equazione cartesiana del piano possiamo dedurre immediatamente un vettore normale: è sufficiente considerare il vettore dei parametri direttori

n_(π) = (h,h-4,h-3)

mentre dalle equazioni parametriche della retta siamo in grado di scrivere un vettore parallelo ad essa:

v_(r) = (1,-3,-2)

Chiaramente questi vettori da soli non bastano! Abbiamo bisogno anche della cosiddetta condizione di perpendicolarità retta-piano, che possiamo formulare come segue: dato un piano π con vettore normale n_(π) e una retta r con vettore direttore v_(r), allora π e r sono perpendicolari se e solo se n_(π) è un multiplo non nullo di v_(r), ossia se si presenta nella forma

n_(π) = αv_(r) con α ne 0

Riscriviamo quest'uguaglianza con i vettori in nostro possesso

(h,h-4,h-3) = α(1,-3,-2)

e costruiamo il sistema lineare nell'incognita h (e con parametro α ne 0)

h = α ; h-4 = -3α ; h-3 = -2α

Data la facilità del sistema, usiamo il metodo di sostituzione: dalla prima equazione sappiamo che h = α, e sostituendo nelle rimanenti, ci riconduciamo al sistema

h = α ; α-4 = -3α ; α-3 = -2α

che dopo qualche passaggio algebrico diventa:

h = α ; 2α-4 = 0 ; 3α-3 = 0

da cui α = 1 e h = 1

Se sostituiamo h = 1 nell'equazione di π_h e con qualche semplice calcolo, otteniamo quella che è a tutti gli effetti l'equazione del piano perpendicolare alla retta

π_1: x-3y-2z-1 = 0

È fatta!
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Os