Piano di un fascio di piani ortogonale a una retta

Non riesco a risolvere un esercizio sul piano perpendicolare a una retta. Mi viene chiesto di trovare tra un fascio di piani quelli che sono perpendicolari a una retta data in forma parametrica. Una volta scritta l'equazione del fascio non sono proprio in grado di continuare.

Determinare il piano ortogonale alla retta di equazioni parametriche



che appartiene al fascio generato dai piani di equazioni cartesiane



Grazie.

Per risolvere il problema iniziamo a scrivere l'equazione del fascio di piani generato dai piani:



Nulla di complicato, è sufficiente scrivere la combinazione lineare delle equazioni cartesiane di :



o equivalentemente



con numeri reali non contemporaneamente nulli. Si noti che proprio perché il piano deve appartenere al fascio, l'equazione che lo descrive avrà necessariamente questa forma.

Si osservi inoltre che la tripla composta dai coefficienti che moltiplicano le incognite



è un vettore che individua la direzione perpendicolare al piano.

Affinché sia il piano perpendicolare alla retta



dobbiamo richiedere che sia un multiplo non nullo del vettore che moltiplica il parametro



il quale individua la direzione della retta.

Imponiamo quindi che sia un multiplo di , imponendo l'equazione vettoriale



grazie alla quale costruiamo il sistema lineare nelle incognite



che grazie al metodo di sostituzione scopriamo essere risolto da tutte le coppie del tipo:



a cui aggiungiamo il vincolo , per via dell'interpretazione geometrica che abbiamo attribuito al sistema.

Se sostituiamo , l'equazione del fascio si tramuta in:



da cui, una volta diviso i membri per , si ottiene l'equazione di :



Abbiamo finito!