Piano di un fascio di piani ortogonale a una retta

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Piano di un fascio di piani ortogonale a una retta #77927

avt
ivan.marino
Cerchio
Non riesco a risolvere un esercizio sul piano perpendicolare a una retta. Mi viene chiesto di trovare tra un fascio di piani quelli che sono perpendicolari a una retta data in forma parametrica. Una volta scritta l'equazione del fascio non sono proprio in grado di continuare.

Determinare il piano ortogonale alla retta di equazioni parametriche

r: (x,y,z) = (1,2,-1)+t(3,-1,-2) con t∈R

che appartiene al fascio generato dai piani di equazioni cartesiane

 π_1: x-z-3 = 0 ; π_2: x-y-2 = 0

Grazie.
 
 

Piano di un fascio di piani ortogonale a una retta #101191

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere il problema iniziamo a scrivere l'equazione del fascio di piani generato dai piani:

 π_1: x-z-3 = 0 ; π_2: x-y-2 = 0

Nulla di complicato, è sufficiente scrivere la combinazione lineare delle equazioni cartesiane di π_1 e π_2:

mathrmF: λ (x-z-3)+μ (x-y-2) = 0

o equivalentemente

mathrmF: (λ+μ)x-μ y-λ z-3λ-2μ = 0

con λ,μ numeri reali non contemporaneamente nulli. Si noti che proprio perché il piano deve appartenere al fascio, l'equazione che lo descrive avrà necessariamente questa forma.

Si osservi inoltre che la tripla composta dai coefficienti che moltiplicano le incognite x,y e z

n_(π) = (λ+μ, -μ, -λ)

è un vettore che individua la direzione perpendicolare al piano.

Affinché π∈ mathrmF sia il piano perpendicolare alla retta r

r: (x,y,z) = (1,2,-1)+t(3,-1,-2) con t∈R

dobbiamo richiedere che n_(π) sia un multiplo non nullo del vettore che moltiplica il parametro t

v_(r) = (l,m,n) = (3,-1,-2)

il quale individua la direzione della retta.

Imponiamo quindi che n_(π) sia un multiplo di v_(r), imponendo l'equazione vettoriale

 n_(π) = αv_(r) con α ne 0 ; (λ+μ,-μ,-λ) = α(3,-1,-2)

grazie alla quale costruiamo il sistema lineare nelle incognite λ, μ

λ+μ = 3α ;-μ = -α ;-λ = -2α

che grazie al metodo di sostituzione scopriamo essere risolto da tutte le coppie del tipo:

(λ,μ) = (2α, α)

a cui aggiungiamo il vincolo α ne 0, per via dell'interpretazione geometrica che abbiamo attribuito al sistema.

Se sostituiamo λ = 2α, μ = α, l'equazione del fascio si tramuta in:

mathrmF: 3α x-α y-2α z-8α = 0

da cui, una volta diviso i membri per α ne 0, si ottiene l'equazione di π:

π: 3x-y-2z-8 = 0

Abbiamo finito!
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Os