Piani perpendicolari a una retta con distanza da un punto

Avrei bisogno di una mano per trovare i piano sapendo che sono perpendicolari a una retta e che hanno distanza fissata da un punto dello spazio. La mia difficoltà risiede nel fatto che non so come usare il vincolo dettato dalla distanza, potreste aiutarmi per favore?

Sia data la retta di equazioni parametriche



Trovare i piani perpendicolari a e che distano dal punto .

Grazie.

Partiamo dalle equazioni parametriche della retta



e consideriamo la tripla dei coefficienti che moltiplicano il parametro libero :



Esso è un vettore parallelo alla retta e in quanto tale ricopre il ruolo di vettore direttore. Affinché l'equazione



descriva un piano perpendicolare alla retta è sufficiente che i coefficienti coincidano con le componenti di ,



Spieghiamo velocemente il perché! Poiché è un vettore che individua la direzione normale a e è un vettore parallelo a , allora sono perpendicolari nel momento in cui è un multiplo (non nullo) di , ossia se



Scegliendo per comodità , la perpendicolarità retta-piano è garantita anche quando i due vettori coincidono, ossia quando .

Alla luce di queste considerazioni, posto , l'equazione diventa



in cui è ancora un parametro libero. Per poterne determinare i valori, dobbiamo interpellare la condizione relativa alla distanza punto-piano: i piani distano dal punto



Questa condizione si tramuta nell'equazione dove



per cui



Risolviamo l'equazione con valore assoluto



che, una volta spezzata nelle seguenti



è soddisfatta dai valori

a cui associamo il piano ;

a cui associamo il piano .

In definitiva i piani perpendicolari a e che distano 3 da hanno equazioni



Abbiamo finito!