Piani perpendicolari a una retta con distanza da un punto

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Piani perpendicolari a una retta con distanza da un punto #77857

avt
goodE
Punto
Avrei bisogno di una mano per trovare i piano sapendo che sono perpendicolari a una retta e che hanno distanza fissata da un punto dello spazio. La mia difficoltà risiede nel fatto che non so come usare il vincolo dettato dalla distanza, potreste aiutarmi per favore?

Sia data la retta di equazioni parametriche

r: x = 1-t ; y = 1-2t ; z = 2-2t con t∈R

Trovare i piani perpendicolari a r e che distano 3 dal punto P(3,1,2).

Grazie.
Ringraziano: Omega, CarFaby
 
 

Piani perpendicolari a una retta con distanza da un punto #101190

avt
Ifrit
Amministratore
Partiamo dalle equazioni parametriche della retta r

r: x = 1-t ; y = 1-2t ; z = 2-2t con t∈R

e consideriamo la tripla dei coefficienti che moltiplicano il parametro libero t:

v_(r) = (l,m,n) = (-1,-2,-2)

Esso è un vettore parallelo alla retta e in quanto tale ricopre il ruolo di vettore direttore. Affinché l'equazione

π: ax+by+cz+d = 0

descriva un piano perpendicolare alla retta r è sufficiente che i coefficienti a,b,c coincidano con le componenti di v_(r),

n_(π) = v_(r) = (-1,-2,-2)

Spieghiamo velocemente il perché! Poiché n_(π) = (a,b,c) è un vettore che individua la direzione normale a π e v_(r) = (l,m,n) è un vettore parallelo a r, allora π e r sono perpendicolari nel momento in cui n_(π) è un multiplo (non nullo) di v_(r), ossia se

n_(π) = λv_(r) con λ ne 0

Scegliendo per comodità λ = 1, la perpendicolarità retta-piano è garantita anche quando i due vettori coincidono, ossia quando n_(π) = v_(r).

Alla luce di queste considerazioni, posto a = -1, , b = -2, , c = -2, l'equazione diventa

π: -x-2y-2z+d = 0

in cui d è ancora un parametro libero. Per poterne determinare i valori, dobbiamo interpellare la condizione relativa alla distanza punto-piano: i piani distano 3 dal punto

P(x_(P),y_(P),z_(P)) = (3,1,2)

Questa condizione si tramuta nell'equazione d(π,P) = 3 dove

 d(π,P) = (|ax_(P)+by_(P)+cz_(P)+d|)/(√(a^2+b^2+c^2)) = (|-1·3-2·1-2·2+d|)/(√((-1)^2+(-2)^2+(-2)^2)) = (|-9+d|)/(√(9)) = (|d-9|)/(3)

per cui

d(π,P) = 3 → (|d-9|)/(3) = 3

Risolviamo l'equazione con valore assoluto

(|d-9|)/(3) = 3 → |d-9| = 9

che, una volta spezzata nelle seguenti

d-9 = -9 ∨ d-9 = 9

è soddisfatta dai valori

d = 0 a cui associamo il piano π_1: -x-2y-2z = 0;

d = 18 a cui associamo il piano π_2: -x-2y-2z+18 = 0.

In definitiva i piani perpendicolari a r e che distano 3 da P hanno equazioni

 π_1: -x-2y-2z = 0 ; π_2: -x-2y-2z+18 = 0

Abbiamo finito!
  • Pagina:
  • 1
Os