Esercizio su piani e rette perpendicolari

Ho qualche perplessità sullo svolgimento di un esercizio in cui dovrei trovare il piano perpendicolare a una retta. Il testo mi dà le equazioni cartesiane della retta, oltre a informarmi che il piano passa per il punto di intersezione tra la retta e un altro piano. Come dovrei fare?

Sia data la retta di equazioni cartesiane



Scrivere l'equazione del piano perpendicolare a e passante per il punto di intersezione tra la retta e il piano di equazione cartesiana



Grazie.

Sia data la retta di equazioni cartesiane



e sia il piano descritto dall'equazione



L'esercizio ci chiede di trovare il piano ortogonale alla retta e passante per il punto di intersezione .

Prima di dedicarci ai calcoli, richiamiamo un momento la condizione di perpendicolarità tra retta e piano. Un piano e una retta sono perpendicolari se la direzione normale al piano è parallela alla direzione della retta.

Se indichiamo con un vettore normale al piano e con un qualsiasi vettore parallelo alla retta, la perpendicolarità retta-piano è garantita nel momento in cui sono vettori proporzionali: deve esistere tale che .

Si osservi che se scegliamo , allora i due vettori sono certamente proporzionali: esiste e vale 1!

Dopo questo veloce richiamo teorico, scriviamo la generica equazione cartesiana del piano :



e associamole la tripla composta dai coefficienti che moltiplicano le incognite:



è il cosiddetto vettore dei parametri direttori del piano e individua la direzione perpendicolare di quest'ultimo.

Esaminiamo la retta



e proponiamoci come obiettivo quello di determinare un la quale è intersezione del piano , a cui associamo il vettore



con il piano a cui associamo il vettore



Il prodotto vettoriale fornisce un vettore che individua la direzione di e in quanto tale ricoprirà il ruolo del vettore direttore di



Calcolando il determinante della matrice con la regola di Laplace (sviluppando ad esempio lungo la prima riga) ricaviamo



Noto possiamo immediatamente scrivere la tripla : basta rifarsi all'uguaglianza da cui segue che



pertanto, posto , l'equazione di diventa



Per determinare abbiamo bisogno del punto di intersezione tra e il piano definito da:



A questo proposito risolviamo il sistema lineare composto dalle equazioni cartesiane di e quella di



Usiamo il metodo di sostituzione: nella prima equazione isoliamo al primo membro, nella seconda isoliamo invece , dopodiché sostituiamo le espressioni nella terza



L'ultima equazione è soddisfatta se e, procedendo con le opportune sostituzioni all'indietro, calcoliamo i valori di



per cui è il punto di intersezione tra la retta e il piano : è grazie a esso che calcoleremo il termine noto .

Imponiamo il passaggio di per il punto



e concludiamo scrivendo l'equazione di :



È fatta!