Esercizio su piani e rette perpendicolari

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Esercizio su piani e rette perpendicolari #77680

avt
franc994
Punto
Ho qualche perplessità sullo svolgimento di un esercizio in cui dovrei trovare il piano perpendicolare a una retta. Il testo mi dà le equazioni cartesiane della retta, oltre a informarmi che il piano passa per il punto di intersezione tra la retta e un altro piano. Come dovrei fare?

Sia data la retta di equazioni cartesiane

r: x+z-1 = 0 ; y-z-3 = 0

Scrivere l'equazione del piano π perpendicolare a r e passante per il punto di intersezione tra la retta e il piano π_1 di equazione cartesiana

π_1: x+y+z-3 = 0

Grazie.
 
 

Esercizio su piani e rette perpendicolari #101189

avt
Ifrit
Amministratore
Sia data la retta di equazioni cartesiane

r: x+z-1 = 0 ; y-z-3 = 0

e sia π_1 il piano descritto dall'equazione

π_1: x+y+z-3 = 0

L'esercizio ci chiede di trovare il piano ortogonale alla retta r e passante per il punto di intersezione P = r ∩ π_1.

Prima di dedicarci ai calcoli, richiamiamo un momento la condizione di perpendicolarità tra retta e piano. Un piano e una retta sono perpendicolari se la direzione normale al piano è parallela alla direzione della retta.

Se indichiamo con n_(π) un vettore normale al piano e con v_(r) un qualsiasi vettore parallelo alla retta, la perpendicolarità retta-piano è garantita nel momento in cui n_(π),v_(r) sono vettori proporzionali: deve esistere λ ne 0 tale che n_(π) = λv_(r).

Si osservi che se scegliamo n_(π) = v_(r), allora i due vettori sono certamente proporzionali: λ esiste e vale 1!

Dopo questo veloce richiamo teorico, scriviamo la generica equazione cartesiana del piano π:

π: ax+by+cz+d = 0

e associamole la tripla composta dai coefficienti che moltiplicano le incognite:

n_(π) = (a,b,c) ne (0,0,0)

n_(π) è il cosiddetto vettore dei parametri direttori del piano e individua la direzione perpendicolare di quest'ultimo.

Esaminiamo la retta

r: x+z-1 = 0 ; y-z-3 = 0

e proponiamoci come obiettivo quello di determinare un la quale è intersezione del piano α: x+z-1 = 0, a cui associamo il vettore

n_(α) = (a_(α),b_(α),c_(α)) = (1,0,1)

con il piano β: y-z-3 = 0 a cui associamo il vettore

n_(β) = (a_(β),b_(β),c_(β)) = (0,1,-1)

Il prodotto vettoriale n_(α)×n_(β) fornisce un vettore che individua la direzione di r e in quanto tale ricoprirà il ruolo del vettore direttore di r

 v_(r) = n_(α)×n_(β) = det[i j k ; a_(α) b_(α) c_(α) ; a_(β) b_(β) c_(β)] = det[i j k ; 1 0 1 ; 0 1 -1] =

Calcolando il determinante della matrice con la regola di Laplace (sviluppando ad esempio lungo la prima riga) ricaviamo

= -i+j+k = (-1,1,1)

Noto v_(r) possiamo immediatamente scrivere la tripla n_(π): basta rifarsi all'uguaglianza n_(π) = v_(r) da cui segue che

n_(π) = (a,b,c) = (-1,1,1)

pertanto, posto a = -1, , b = 1, , c = 1, l'equazione di π diventa

π: -x+y+z+d = 0

Per determinare d abbiamo bisogno del punto di intersezione tra r e il piano π_1 definito da:

π_(1): x+y+z-3 = 0

A questo proposito risolviamo il sistema lineare composto dalle equazioni cartesiane di r e quella di π_1

x+z-1 = 0 ; y-z-3 = 0 ; x+y+z-3 = 0 → x+z = 1 ; y-z = 3 ; x+y+z = 3

Usiamo il metodo di sostituzione: nella prima equazione isoliamo x al primo membro, nella seconda isoliamo invece y, dopodiché sostituiamo le espressioni nella terza

x = 1-z ; y = 3+z ; (1-z)+(3+z)+z = 3

L'ultima equazione è soddisfatta se z = -1 e, procedendo con le opportune sostituzioni all'indietro, calcoliamo i valori di x e y

x = 2 ; y = 2 ; z = -1

per cui P(x_(P),y_(P),z_(P)) = (2,2,-1) è il punto di intersezione tra la retta e il piano π_1: è grazie a esso che calcoleremo il termine noto d.

Imponiamo il passaggio di π per il punto P

P∈π ⇔ -2+2+(-1)+d = 0 → d = 1

e concludiamo scrivendo l'equazione di π:

π: -x+y+z+1 = 0

È fatta!
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Os