Classificazione di una conica al variare di un parametro

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Classificazione di una conica al variare di un parametro #74743

avt
losimon
Punto
C'è un esercizio sulla classificazione delle coniche con parametro che non sono in grado di risolvere. Nonostante mi sia attenuto alla teoria delle coniche, non ottengo lo stesso risultato del libro.

Sia h\in\mathbb{R} e sia \mathrm{C} la conica di equazione:

\mathrm{C}:\ hx^2+2hxy+y^2-4x-2y=0

Dire di che tipo di conica si tratta al variare del parametro h.

Grazie.
 
 

Classificazione di una conica al variare di un parametro #74816

avt
Galois
Amministratore
Per classificare la conica \mathrm{C} di equazione

\mathrm{C}:\ hx^2+2hxy+y^2-4x-2y=0

occorre innanzitutto determinare le due matrici simmetriche

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}\\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

dette matrici associate alla conica e le cui entrate

\bullet \ \ \ a_{11},\, a_{22},\, a_{33} sono rispettivamente il coefficiente del termine in x^2, quello del termine in y^2 e il termine noto;

\bullet \ \ \ a_{12},\, a_{13},\,a_{23} sono rispettivamente il coefficiente del termine in xy, quello del termine in x e quello del termine in y divisi per due.

Nel caso considerato abbiamo che:

- il coefficiente del termine in x^2 è a_{11}=h;

- il coefficiente del termine in y^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente del termine in xy è 2a_{12}=2h, da cui a_{12}=h;

- il coefficiente del termine in x è 2a_{13}=-4, da cui a_{13}=-2;

- il coefficiente del termine in y è 2a_{23}=-2, da cui a_{23}=-1;

- il termine noto è invece nullo, a_{33}=0.

La matrice dei coefficienti A è quindi

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}h&h&-2\\ h&1&-1\\ -2&-1&0\end{pmatrix}

mentre quella dei termini quadratici è:

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}h&h\\ h&1\end{pmatrix}

Il primo passo per classificare la conica consiste nel calcolare il determinante della matrice A, al variare di h: se è nullo, diremo che la conica è degenere, in caso contrario diremo che la conica è non degenere.

Usando ad esempio il metodo di Sarrus, scopriamo che il determinante di A è:

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}h&h&-2\\ h&1&-1\\ -2&-1&0\end{pmatrix}=3h-4

ed è nullo se e solo se:

3h-4=0 \ \ \ \to \ \ \ h=\frac{4}{3}

Possiamo già effettuare una prima classificazione:

- se h=\frac{4}{3}, la conica è degenere;

- se h\ne\frac{4}{3}, la conica è non degenere.


Classificazione della conica: caso degenere

Se h=\frac{4}{3}, abbiamo visto che la conica è degenere e per questo valore le matrici associate diventano

\\ A=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{3}&&\dfrac{4}{3}&&-2\\ \\  \dfrac{4}{3}&&1&&-1\\ \\ -2&&-1&&0\end{pmatrix} \\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{3}&&\dfrac{4}{3}\\ \\ \dfrac{4}{3}&& 1\end{pmatrix}

Atteniamoci alla teoria delle coniche e calcoliamo il rango della matrice dei coefficienti: osservato che la sottomatrice di ordine due ottenuta cancellando l'ultima riga e l'ultima colonna di A ha determinante non nullo, possiamo affermare che il rango di A è due

\mbox{rk}(A)=2

pertanto la conica è semplicemente degenere. Calcoliamo il determinante di A_{33}

\mbox{det}(A_{33})=\mbox{det}\begin{pmatrix}\dfrac{4}{3}&&\dfrac{4}{3}\\ \\ \dfrac{4}{3}&& 1\end{pmatrix}=-\frac{4}{9}<0

Poiché è negativo, la conica \mathrm{C} si spezza in due rette reali e non parallele.


Classificazione della conica: caso non degenere

Per h\ne\frac{4}{3}, la conica è non degenere: possiamo raffinare la classificazione al variare del segno di \mbox{det}(A_{33}):

- se il determinante è positivo, la conica è un'ellisse;

- se il determinante è nullo, la conica è una parabola;

- se il determinante è negativo, la conica è un'iperbole.

Esplicitiamo quindi il determinante della matrice dei termini quadratici

\mbox{det}(A_{33})=\mbox{det}\begin{pmatrix}h&h\\ h&1\end{pmatrix}=h-h^2

e studiamone il segno al variare di h.

\mbox{det}(A_{33})>0 \ \iff \ h-h^2>0

La disequazione di secondo grado è soddisfatta per i valori 0<h<1, pertanto:

- per 0<h<1, il determinante è positivo e la conica è un'ellisse;

- per h=0 oppure per h=1, il determinante è nullo e la conica è una parabola;

- per h<0 oppure per h>1 con h\ne \frac{4}{3}, il determinante è negativo, pertanto la conica è un'iperbole.


Conclusioni

Riassumendo:

- se h=\frac{4}{3}, la conica degenera in due rette reali e non parallele;

- se h\ne\frac{4}{3}, la conica è non degenere e in particolare:

- per 0<h<1, la conica è un'ellisse;

- per h=0 oppure per h=1, la conica è una parabola;

- per h<0\ \vee \ h>1, \ h\ne\frac{4}{3}, la conica è un'iperbole.

È fatta!
Ringraziano: Omega, CarFaby, losimon, @ngel
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Os