Vettori ortogonali

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Vettori ortogonali #71546

avt
OxVinz
Punto
Potreste dirmi con esattezza come si definiscono i vettori ortogonali? Oggi a lezione di Algebra Lineare sono stati introdotti diversi concetti, tra cui quello di vettori ortogonali, ma non ho ben capito di cosa si tratta.
Ringraziano: MarcoDiFrancesco
 
 

Vettori ortogonali #71558

avt
Omega
Amministratore
Per introdurre la definizione di vettori ortogonali abbiamo bisogno di uno spazio vettoriale V definito sul campo \mathbb{R} e di un prodotto scalare \langle \ , \ \rangle: V \times V \to \mathbb{R}.

Si dice che due vettori \mathbf{u},\mathbf{v} \in V sono ortogonali rispetto al prodotto scalare \langle \ , \ \rangle se e solo se, per definizione, il loro prodotto scalare è nullo.

In formule:

\mathbf{u}, \mathbf{v} \mbox{ vettori ortogonali rispetto a } \langle \ , \ \rangle \iff \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle=0

Osservazione: come risulta evidente, la definizione di vettori ortogonali si riferisce a una coppia di vettori e dipende dal prodotto scalare che si considera. Il più delle volte si introduce per vettori di V=\mathbb{R}^n e come prodotto scalare si considera il prodotto scalare canonico, ma è un concetto che si può estendere a uno spazio vettoriale e a un prodotto scalare qualsiasi.

Esempi di vettori ortogonali e non ortogonali

1) I vettori di \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2 con coordinate rispetto alla base canonica date da

\mathbf{u}=(2,1) \mbox{ e } \mathbf{v}=(-1,2)

sono vettori ortogonali rispetto al prodotto scalare canonico, infatti

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (2,1) \cdot (-1,2) = \\ \\ =(2)(-1) + (1)(2) = -2+2=0

2) I vettori \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 espressi in coordinate riferite alla base canonica

\mathbf{u}=(1,0,1) \mbox{ e } \mathbf{v}=(2,0,0)

non sono ortogonali rispetto al prodotto scalare euclideo in quanto

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1,0,1) \cdot (2,0,0) = \\ \\ = (1)(2) + (0)(0) + (1)(0) = 2+0+0 = 2 \neq 0

3) I vettori

\mathbf{u}=(-1,3) \mbox{ e } \mathbf{v}=(8,-1) \mbox{ di } \mathbb{R}^2

sono vettori non ortogonali rispetto al prodotto scalare canonico, infatti

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (-1,3) \cdot (8,-1) = \\ \\ =(-1)(8) + (3)(-1) = -8-3=-11 \neq 0

Al contrario, sono ortogonali rispetto al prodotto scalare \\ \langle \ , \ \rangle: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}

\langle (x_1,x_2), \ (y_1,y_2) \rangle = 2x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+3x_2y_2

Posto infatti

\\ \mathbf{u}=(x_1,x_2)=(-1,3) \\ \\ \mathbf{v}=(y_1,y_2)=(8,-1)

il loro prodotto scalare è nullo

\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle (-1,3), \ (8,-1) \rangle = \\ \\ =2(-1)(8)+(-1)(-1)+(3)(8)+3(3)(-1)=\\ \\ =-16+1+24-9=0

Insieme di vettori ortogonali

La definizione di vettori ortogonali può essere estesa anche a un insieme formato da più di due vettori. In particolare, se V è uno spazio vettoriale di dimensione n e \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare definito su V, un insieme \{\mathbf{v}_1, \ \mathbf{v}_2, \ ..., \ \mathbf{v}_m\} di m \le n vettori di V è un insieme di vettori ortogonali se e solo se essi sono ortogonali a due a due.

In formule:

\\ \{\mathbf{v}_1, \ \mathbf{v}_2, \ ..., \ \mathbf{v}_m\} \mbox{ insieme di vettori ortogonali rispetto a } \langle \ , \ \rangle \\ \\ \iff \langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle=0\ \ \forall i \neq j

Ad esempio

\mathbf{v}_1=(1,0,0), \ \mathbf{v}_2=(0,-3,0), \ \mathbf{v}_3=(0,0,4)

sono vettori di \mathbb{R}^3 ortogonali rispetto al prodotto scalare canonico. Per convincersene è sufficiente osservare che

\\ \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = (1,0,0) \cdot (0,-3,0) = (1)(0) + (0)(-3) + (0)(0) = 0+0+0 = 0 \\ \\ \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_3 = (1,0,0) \cdot (0,0,4) = (1)(0) + (0)(0) + (0)(4) = 0+0+0 = 0 \\ \\ \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_3 = (0,-3,0) \cdot (0,0,4) = (0)(0) + (-3)(0) + (0)(4) = 0+0+0 = 0

***

Se avete già studiato l'indipendenza lineare tra vettori è bene sapere che vettori ortogonali sono linearmente indipendenti.

Inoltre, per sapere cos'è una base ortogonale vi rimandiamo alla pagina del link.
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, MarcoDiFrancesco
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