Ortonormalizzare una base ortogonale con prodotto scalare non canonico

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Ortonormalizzare una base ortogonale con prodotto scalare non canonico #70937

avt
Nimalani
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per risolvere un esercizio sui prodotti scalari qualsiasi e sulla norma indotta; più nello specifico viene chiesto di verificare che un prodotto scalare è definito positivo, che una base è ortogonale rispetto a esso e di ortonormalizzarla.

Sia data la seguente base di \mathbb{R}^2:

\mathcal{B}=\{(1,0), \ (2,1)\}

e il prodotto scalare su \mathbb{R}^2 tale che

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = x_1y_1-2x_1y_2-2x_2y_1+5x_2y_2

Verificare che il prodotto scalare è definito positivo, che \mathcal{B} è una base ortogonale rispetto a \langle \ , \ \rangle e, infine, ortonormalizzarla.
 
 

Ortonormalizzare una base ortogonale con prodotto scalare non canonico #70941

avt
Galois
Amministratore
Siano \mathcal{B} la base di \mathbb{R}^2 formata dai vettori

\mathbf{v}_1=(1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,1)

e \langle \ , \ \rangle il prodotto scalare su \mathbb{R}^2 definito da

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = x_1y_1-2x_1y_2-2x_2y_1+5x_2y_2

Occorre:

- verificare che \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare definito positivo;

- provare che \mathcal{B} è una base ortogonale rispetto a \langle \ , \ \rangle;

- ortonormalizzare \mathcal{B}.

Procediamo!


Verifica definita positività

\langle \ , \ \rangle è definito positivo se e solo, per definizione:

\langle \mathbf{x} , \mathbf{x} \rangle > 0 \ \ \forall \ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2, \ \mathbf{x}\neq \mathbf{0}

Sia, allora, \mathbf{x}=(x_1,x_2) un vettore non nullo di \mathbb{R}^2 e calcoliamo il prodotto scalare di \mathbf{x} con se stesso.

\\ \langle \mathbf{x} , \mathbf{x} \rangle = x_1x_1-2x_1x_2-2x_2x_1+5x_2x_2 = \\ \\ = x_1^2-4x_1x_2+5x_2^2 =

scriviamo 5x_2^2 come somma tra 4x_2^2 e x_2^2

= x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2+x_2^2 =

i primi tre termini formano lo sviluppo di un quadrato di binomio

=(x_1-2x_2)^2+x_2^2

In generale, la somma di due quadrati è non negativa ed è nulla se le basi dei quadrati sono nulle.

Alla luce di ciò il prodotto scalare in esame è definito positivo, infatti \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle è positivo per ogni \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2-\{\mathbf{0}\} ed è nullo se e solo se \mathbf{x}=\mathbf{0}.


Verifica base ortogonale

\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} = \{(1,0), \ (2,1)\}

è una base ortogonale di \mathbb{R}^2 rispetto a \langle \ , \ \rangle se e solo se, per definizione, il prodotto scalare tra \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 è pari a zero. Calcoliamolo!

\\ \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \rangle = \langle (1,0),(2,1)\rangle = \\ \\ = 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \cdot 2 + 5 \cdot 0 \cdot 1 = \\ \\ = 2-2 = 0

dunque \mathcal{B} è una base ortogonale.


Ortonormalizzazione di \mathcal{B}

In generale, una base ortonormale di uno spazio vettoriale V rispetto a un prodotto scalare definito positivo su V è una base ortogonale in cui ogni vettore ha norma 1.

La norma indotta dal prodotto scalare \langle \ , \ \rangle è quell'applicazione che a ogni vettore non nullo \mathbf{v}=(v_1,v_2) \in \mathbb{R}^2 associa il numero reale positivo così definito:

||\mathbf{v}||=\sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle} = \sqrt{v_1v_1-2v_1v_2-2v_2v_1+5v_2v_2} = \\ \\ = \sqrt{v_1^2-4v_1v_2+5v_2^2}

Nel nostro caso, \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} è già una base ortonormale di \mathbb{R}^2 rispetto a \langle \ , \ \rangle, infatti:

\\ ||\mathbf{v}_1||=||(1,0)|| = \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot 0 + 5 \cdot 0^2} = \sqrt{1}=1 \\ \\ ||\mathbf{v}_2||=||(2,1)|| = \sqrt{2^2-4\cdot 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1^2} = \sqrt{4-8+5}=1

Abbiamo finito, ma ci teniamo a precisare che nel caso in cui le norme ||\mathbf{v}_1||, ||\mathbf{v}_2|| fossero state diverse da uno, per ortonormalizzare \mathcal{B} sarebbe stato sufficiente dividere ciascun vettore per la relativa norma.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Nimalani, chiaradc
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Os