Dimostrare che matrici associate a uno stesso endomorfismo sono simili

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Dimostrare che matrici associate a uno stesso endomorfismo sono simili #70308

avt
FAQ
Frattale
In una prova in itinere di Algebra Lineare degli anni precedenti c'è un esercizio che chiede di dimostrare che matrici associate a uno stesso endomorfismo rispetto a basi distinte sono matrici simili. Potreste dirmi come si dimostra?

Siano V uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo K, mathcalB, mathcalB' due basi di V e F:V → V un endomorfismo. Dimostrare che le matrici associate a F rispetto alle basi mathcalB, mathcalB' sono matrici simili.
 
 

Dimostrare che matrici associate a uno stesso endomorfismo sono simili #101679

avt
Omega
Amministratore
In generale, due matrici quadrate A,B dello stesso ordine sono matrici simili se e solo se, per definizione, esiste una matrice invertibile P tale che

A = P^(-1)BP

Venendo all'esercizio, sappiamo che V è uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo K, che mathcalB e mathcalB' sono due basi di V e che F:V → V è un endomorfismo.

Ci viene chiesto di dimostrare che le matrici associate a F rispetto alle basi mathcalB, mathcalB' sono simili.

Indichiamo tali matrici con A_F^(mathcalB) e con A_F^(mathcalB').

Dalla formula sul cambiamento di base per endomorfismi è noto che:

A_F^(mathcalB') = M_(mathcalB → mathcalB')·A_F^(mathcalB)·M_(mathcalB'→ mathcalB)

dove:

· è il prodotto tra matrici;

M_(mathcalB → mathcalB') è la matrice di cambiamento di base da mathcalB a mathcalB';

M_(mathcalB'→ mathcalB) è la matrice di passaggio da mathcalB' a mathcalB.

Dalla teoria sulle matrici di cambiamento di base sappiamo che le matrici di passaggio sono invertibili e che M_(mathcalB → mathcalB') è l'inversa della matrice che effettua il passaggio opposto, ossia

M_(mathcalB → mathcalB') = (M_(mathcalB'→ mathcalB))^(-1)

Sostituiamo nella formula del cambiamento di base

A_F^(mathcalB') = M_(mathcalB → mathcalB')·A_F^(mathcalB)·M_(mathcalB'→ mathcalB) = (M_(mathcalB'→ mathcalB))^(-1)·A_F^(mathcalB)·M_(mathcalB'→ mathcalB)

Abbiamo così dimostrato che esiste una matrice invertibile P:

P = M_(mathcalB'→ mathcalB)

tale che

A_F^(mathcalB') = P^(-1)·A_F^(mathcalB)·P

cosicché le matrici A_F^(mathcalB), A_F^(mathcalB') sono simili.

Abbiamo terminato!
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