Dimostrare che matrici associate a uno stesso endomorfismo sono simili

In una prova in itinere di Algebra Lineare degli anni precedenti c'è un esercizio che chiede di dimostrare che matrici associate a uno stesso endomorfismo rispetto a basi distinte sono matrici simili. Potreste dirmi come si dimostra?

Siano uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo , due basi di e un endomorfismo. Dimostrare che le matrici associate a rispetto alle basi sono matrici simili.

In generale, due matrici quadrate dello stesso ordine sono matrici simili se e solo se, per definizione, esiste una matrice invertibile tale che



Venendo all'esercizio, sappiamo che è uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo , che e sono due basi di e che è un endomorfismo.

Ci viene chiesto di dimostrare che le matrici associate a rispetto alle basi sono simili.

Indichiamo tali matrici con e con .

Dalla formula sul cambiamento di base per endomorfismi è noto che:



dove:

è il prodotto tra matrici;

è la matrice di cambiamento di base da a ;

è la matrice di passaggio da a .

Dalla teoria sulle matrici di cambiamento di base sappiamo che le matrici di passaggio sono invertibili e che è l'inversa della matrice che effettua il passaggio opposto, ossia



Sostituiamo nella formula del cambiamento di base



Abbiamo così dimostrato che esiste una matrice invertibile :



tale che



cosicché le matrici sono simili.

Abbiamo terminato!