Calcolare le norme di alcuni vettori con prodotto scalare non euclideo

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Calcolare le norme di alcuni vettori con prodotto scalare non euclideo #69421

avt
Julien
Cerchio
Come si calcola la norma di un vettore rispetto a un prodotto scalare qualsiasi? Un esercizio assegna un prodotto scalare diverso da quello canonico e chiede di calcolare le norme di tre vettori. Potreste spiegarmi come si procede?

Si considerino i seguenti vettori di \mathbb{R}^3:

\mathbf{v}_1=(1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,0,-1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(0,-3,3)

e il prodotto scalare su \mathbb{R}^3 tale che

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = 2x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2+x_3y_3

Indicata con || \cdot || la norma indotta da esso, calcolare ||\mathbf{v}_1||, \ ||\mathbf{v}_2||, \ ||\mathbf{v}_3||.
 
 

Calcolare le norme di alcuni vettori con prodotto scalare non euclideo #69440

avt
Omega
Amministratore
Prima di risolvere l'esercizio ricordiamo come si definisce la norma indotta da un prodotto scalare.

Siano V uno spazio vettoriale reale e \langle \ , \ \rangle un prodotto scalare su V definito positivo.

La norma indotta da \langle \ , \ \rangle è una funzione da V a \mathbb{R}^+ \cup \{0\}

|| \cdot || : V \to \mathbb{R}^+ \cup \{0\}

che a ogni vettore \mathbf{v} \in V associa il numero reale ottenuto dalla radice quadrata del prodotto scalare di \mathbf{v} con se stesso, ossia

||\mathbf{v}|| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle}

Passiamo all'esercizio, che assegna il seguente prodotto scalare su \mathbb{R}^3

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = 2x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2+x_3y_3

e chiede di calcolare le norme dei vettori

\mathbf{v}_1=(1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,0,-1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(0,-3,3)

Per prima cosa verifichiamo che \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare definito positivo.

Per definizione, \langle \ , \ \rangle è definito positivo se e solo se

\langle \mathbf{x} , \mathbf{x} \rangle > 0 \ \ \forall \ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3, \ \mathbf{x} \neq 0

Sia, allora, \mathbf{x} = (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 un vettore non nullo e calcoliamo il prodotto scalare di \mathbf{x} con se stesso.

\\ \langle \mathbf{x} , \mathbf{x} \rangle = 2x_1x_1 - x_1x_2 - x_2x_1 + 3 x_2x_2 + x_3x_3 = \\ \\ = 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 3x_2^2 + x_3^2=

scriviamo 2x_1^2 come x_1^2+x_1^2 e 3x_2^2 come x_1^2+2x_2^2

=x_1^2+x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+2x_2^2+x_3^2=

il secondo, il terzo e il quarto termine formano lo sviluppo di un quadrato di binomio

=x_1^2+(x_1-x_2)^2+2x_2^2+x_3^2

Ci siamo così ricondotti alla somma tra quattro quadrati che è non negativa per ogni x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{R} ed è nulla se e solo se le basi dei quadrati sono nulle, cioè se e solo se:

x_1=x_1-x_2=x_2=x_3=0

In definitiva, se \mathbf{x} \ne \mathbf{0}, allora

\langle \mathbf{x} , \mathbf{x} \rangle > 0

e dall'arbitrarietà della scelta di \mathbf{x} segue che il prodotto scalare è definito positivo.

In alternativa, per verificarne la definita positività, avremmo potuto calcolare la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3 e osservare che i suoi autovalori sono positivi.

Per concludere, calcoliamo le norme dei vettori

\mathbf{v}_1=(1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,0,-1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(0,-3,3)

Partiamo da \mathbf{v}_1

\\ ||\mathbf{v}_1|| = \sqrt{\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle} = \sqrt{\langle (1,1,1), (1,1,1)\rangle} = \\ \\ = \sqrt{2 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 } = \\ \\ = \sqrt{2-1-1+3+1} = \sqrt{4}=2

Per quanto concerne \mathbf{v}_2 abbiamo che:

\\ ||\mathbf{v}_2|| = \sqrt{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle} = \sqrt{\langle (2,0,-1), (2,0,-1)\rangle} = \\ \\ = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0 - 0 \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) } = \\ \\ = \sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3

Infine:

\\ ||\mathbf{v}_3|| = \sqrt{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_3 \rangle} = \sqrt{\langle (0,-3,3), (0,-3,3)\rangle} = \\ \\ = \sqrt{2 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot (-3) - (-3) \cdot 0 + 3 \cdot (-3) \cdot (-3) + 3 \cdot 3 } = \\ \\ = \sqrt{27+9} = \sqrt{36} = 6

È tutto!
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