Prodotto scalare definito da un integrale: verifica, norma indotta e base ortonormale

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Prodotto scalare definito da un integrale: verifica, norma indotta e base ortonormale #67039

avt
dankara
Cerchio
Svolgendo una prova d'esame di Algebra Lineare mi sono imbattuto in un esercizio davvero ostico su un prodotto scalare definito da un integrale in uno spazio di polinomi. Chiede di verificare che è un prodotto scalare definito positivo, di determinare la norma indotta e di verificare che una base è ortonormale. È la prima volta che incontro un prodotto scalare definito da un integrale e non so proprio come muovermi.

Siano \mathbb{R}_1[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali e di grado minore o uguale a uno nell'indeterminata x, e \langle \ , \ \rangle : \mathbb{R}_1[x] \times \mathbb{R}_1[x] \to \mathbb{R} l'applicazione definita da:

\langle p(x), q(x) \rangle = \int_{0}^{1} p(x) q(x) dx

1) Verificare che \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare su \mathbb{R}_1[x].

2) Calcolare la matrice associata a \langle \ , \ \rangle rispetto alla base canonica di \mathbb{R}_1[x].

3) Stabilire se \langle \ , \ \rangle è definito positivo e, in caso di risposta affermativa, determinare la norma indotta da \langle \ , \ \rangle.

4) Verificare che \mathcal{B}=\{1, \sqrt{3}-2\sqrt{3}x\} è una base ortonormale di \mathbb{R}_1[x] rispetto a \langle \ , \ \rangle.
 
 

Prodotto scalare definito da un integrale: verifica, norma indotta e base ortonormale #67061

avt
Galois
Amministratore
Sia \mathbb{R}_1[x] lo spazio vettoriale dei polinomi nell'indeterminata x, a coefficienti reali e di grado minore o uguale a 1 e consideriamo l'applicazione \langle \ , \ \rangle : \mathbb{R}_1[x] \times \mathbb{R}_1[x] \to \mathbb{R} definita dal seguente integrale definito

\langle p(x), q(x) \rangle = \int_{0}^{1} p(x) q(x) dx

I nostri obiettivi sono:

1) verificare che \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare su \mathbb{R}_1[x];

2) calcolare la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base canonica di \mathbb{R}_1[x];

3) studiare il segno del prodotto scalare e, se è definito positivo, determinare la norma indotta;

4) verificare che \mathcal{B}=\{1, \sqrt{3}-2\sqrt{3}x\} è una base ortonormale di \mathbb{R}_1[x] rispetto a \langle \ , \ \rangle.

Le richieste sono tante e per non fare confusione passiamole in rassegna una alla volta.


Verifica prodotto scalare

\langle p(x), q(x) \rangle = \int_{0}^{1} p(x) q(x) dx

è un prodotto scalare su \mathbb{R}_1[x] se è lineare rispetto alla prima componente e se è simmetrico, ossia se per ogni p(x), p_1(x), q(x) \in \mathbb{R}_1[x] e per ogni a,b \in \mathbb{R} sono soddisfatte le seguenti condizioni:

\\ \langle ap(x)+bp_1(x), \ q(x) \rangle = a\langle p(x),q(x) \rangle+b\langle p_1(x),q(x) \rangle \\ \\ \langle p(x), q(x) \rangle = \langle q(x), p(x)\rangle

Siano, allora, p(x), p_1(x), q(x) \in \mathbb{R}_1[x] e a,b \in \mathbb{R}.

\langle ap(x)+bp_1(x), \ q(x) \rangle=

per com'è definita l'applicazione \langle \ , \ \rangle

=\int_{0}^{1} \left[ (ap(x)+bp_1(x))q(x) \right]dx =

svolgiamo il prodotto

=\int_{0}^{1} \left[ ap(x)q(x)+bp_1(x)q(x) \right]dx=

per le proprietà degli integrali

\\ =a\int_{0}^{1} p(x)q(x) dx + b \int_{0}^{1} p_1(x)q(x)dx= \\ \\ = a\langle p(x),q(x) \rangle+b\langle p_1(x),q(x) \rangle

dunque \langle \ , \ \rangle è lineare rispetto alla prima componente.

Verifichiamo che è simmetrico:

\langle p(x), q(x) \rangle = \int_{0}^{1} p(x)q(x) dx =

per la proprietà commutativa

=\int_{0}^{1} q(x)p(x) dx = \langle q(x), p(x)\rangle

In definitiva, \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare e possiamo procedere oltre.


Matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base canonica

La base canonica di \mathbb{R}_1[x] è

\mathcal{C} = \{p_1(x), p_2(x)\} = \{1,x\}

e la matrice A che rappresenta il prodotto scalare rispetto a \mathcal{C} è la seguente matrice di ordine 2:

A=\begin{pmatrix}\langle p_1(x), p_1(x) \rangle & \langle p_1(x), p_2(x) \rangle \\ \\ \langle p_2(x), p_1(x) \rangle & \langle p_2(x), p_2(x) \rangle\end{pmatrix}

Calcoliamone gli elementi:

\\ \bullet \ \langle p_1(x), p_1(x) \rangle = \langle 1, 1 \rangle = \int_0^1 (1 \cdot 1) dx = \\ \\ = \int_0^1 dx= \left[x\right]_0^1=1 \\ \\ \\ \bullet \ \langle p_1(x), p_2(x) \rangle = \langle 1, x \rangle = \int_0^1 (1 \cdot x) dx = \\ \\ = \int_0^1 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2} \\ \\ \\ \bullet \ \langle p_2(x), p_1(x) \rangle=\langle p_1(x), p_2(x) \rangle = \frac{1}{2} \\ \\ \\ \bullet \ \langle p_2(x), p_2(x) \rangle = \langle x, x \rangle = \int_0^1 (x \cdot x) dx = \\ \\ = \int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}

di conseguenza

A=\begin{pmatrix}\langle p_1(x), p_1(x) \rangle & \langle p_1(x), p_2(x) \rangle \\ \\ \langle p_2(x), p_1(x) \rangle & \langle p_2(x), p_2(x) \rangle\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 && \dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{1}{2} && \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}


Studio del segno del prodotto scalare

Per studiare il segno del prodotto scalare \langle \ , \ \rangle è sufficiente studiare la definitezza della matrice simmetrica A.

Calcoliamone il polinomio caratteristico:

\\ p_A(\lambda) = \mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_2) = \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda && \dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{1}{2} && \dfrac{1}{3}-\lambda\end{pmatrix}=

sviluppiamo il determinante

\\ =\left(1-\lambda\right)\left(\frac{1}{3}-\lambda\right)-\frac{1}{4}= \\ \\ \\ = \lambda^2-\frac{4}{3}\lambda+\frac{1}{12}

p_A(\lambda) è un polinomio a coefficienti reali con tutte le radici reali (A è simmetrica) quindi possiamo applicare la regola di Cartesio: il termine noto di p_A(\lambda) è diverso da zero e tra un coefficiente e il successivo vi sono, in tutto, due variazioni di segno.

Da ciò segue che gli zeri di p_A(\lambda), e quindi gli autovalori di A, sono positivi, dunque A è definita positiva e tale è anche il prodotto scalare \langle \ , \ \rangle.


Norma indotta dal prodotto scalare

La norma indotta da

\langle p(x), q(x) \rangle = \int_{0}^{1} p(x) q(x) dx

è quella funzione da \mathbb{R}_1[x] a \mathbb{R}^+ \cup \{0\}

|| \cdot || : \mathbb{R}_1[x] \to \mathbb{R}^+ \cup \{0\}

che a un qualsiasi polinomio p(x)=a+bx \in \mathbb{R}_1[x] associa il numero reale positivo dato dalla radice quadrata del prodotto scalare di p(x) con se stesso, ossia

\\ ||p(x)||=\sqrt{\langle p(x), p(x) \rangle} = \sqrt{\int_{0}^{1} p(x) p(x) dx} = \\ \\ \\ = \sqrt{\int_{0}^{1} \left[(a+bx)(a+bx)\right]dx} = \sqrt{\int_{0}^{1} (a^2+2abx+b^2x^2)dx} =

per le proprietà dell'integrale definito

\sqrt{a^2 \int_0^1 dx + 2ab \int_0^1 x dx + b^2 \int_0^1 x^2 dx} =

calcoliamo i tre integrali

\\ =\sqrt{a^2 \cdot 1 + 2ab \cdot \frac{1}{2} + b^2 \cdot \frac{1}{3}} = \\ \\ \\ = \sqrt{a^2 + ab + \frac{1}{3} b^2}

In definitiva:

||p(x)|| = ||a+bx|| = \sqrt{a^2 + ab + \frac{1}{3} b^2}


Verifica base ortonormale

\mathcal{B}=\{1, \sqrt{3}-2\sqrt{3}x\} è una base ortonormale di \mathbb{R}_1[x] rispetto a \langle \ , \ \rangle se e solo se il prodotto scalare tra i due polinomi di \mathcal{B} è zero e ciascun polinomio ha norma pari a 1.

\\ \langle 1, \sqrt{3}-2\sqrt{3}x \rangle = \int_0^1 \left(\sqrt{3}-2\sqrt{3}x\right) dx = \\ \\ \\ = \sqrt{3} \int_0^1 dx - 2\sqrt{3}\int_0^1 x dx = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0

Inoltre:

1 è un polinomio della forma

a+bx \ \ \mbox{ con } a=1, \ b=0

per cui

||1|| = \sqrt{a^2 + ab + \frac{1}{3} b^2} = \sqrt{1} = 1

Analogamente:

\sqrt{3}-2\sqrt{3}x è della forma

a+bx \ \ \mbox{ con } a=\sqrt{3}, \ b=-2\sqrt{3}

di conseguenza

\\ \left|\left|\sqrt{3}-2\sqrt{3}x\right|\right| = \sqrt{a^2 + ab + \frac{1}{3} b^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + \left(\sqrt{3}\right)\left(-2\sqrt{3}\right)+\frac{1}{3}\left(-2\sqrt{3}\right)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{3-6+4} = 1

In buona sostanza \mathcal{B} è una base ortonormale di \mathbb{R}_1[x] rispetto a \langle \ , \ \rangle e l'esercizio è concluso.
Ringraziano: Pi Greco
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